Вступление

Стоит ли бояться математики?

Этот раздел возможно будет сложным для гуманитариев, однако спешу Вас обрадовать.

Без математики в геодезии совершенно не обойтись. Однако не надо ее бояться. В современном мире есть компьютеры, геодезические программы, умные приборы. Большинство математических расчетов происходят автоматически. Однако нормальный специалист обязан знать все математические основы и уметь в них разбираться.

Помоляся начнем ...

Прямоугольная геодезическая система координат

Все мы в школе изучали декартовую систему координат.

Есть ось Абцисс, которую обозначают "Х" и которая смотрит вправо от начальной точки и

есть ось Ординат, которая обозначается буквой "Y" и смотрит вверх.

Примерно так:

Однако в геодезии, в силу разных причин, эти оси поменяны местами ... и это очень важно ... прям очень

В геодезической системе координат ось X - направлена "вверх", ось Y - направлена "вправо"

Таким образом если мы поставим какую-то точку на нашей координатной плоскости, то ее положение однозначно будет указываться парой координат.

Пример:

Есть точка

По оси X наша точка отдалена от центра системы коородинат (от точки с координатами 0,0) на расстояние 7м, по оси Y - на 5м.

Значит координаты нашей точки будут X=7, Y=5 или по-простому 7,5.

Но это на плоскости. 

Мы живем в трехмерном мире, поэтому к координатам XY еще добавляется третья координата - высота или отметка. Обычно ее обзначают буквами H или Z

В нашем примере точка имеет координаты X,Y,Z = 7,5,10

Теперь очень важный момент.

Любая прямоугольная система координат определяется следующими параметрами:

1. Начально точкой системы координат. "Нулевой точкой отсчета", которая имеет координаты 0,0,0

2. Направлением начальной оси. В геодезии (в основном) это ось Х, которая направлена "вверх". Мы пока не будеи углублятся, что это за "верх".

3. Направлением второй оси Y. Обычно она направлена "вправо" от оси X.

4. Направлением оси Z. Обычно она направлена "Вверх" от плоскости, образованной осями XY.

Таким образом из пункта 1. следует, что начало системы координат может быть расположено в разных точках. Получается, что

одна и таже точка может иметь разные координаты в разных системах координат!

Пример:

На рисунке выше мы видим, что в "Черной системе координат" - наша точка имеет координаты 7,5

Но в "красной системе координат" - эта же точка будет иметь координаты 2,3

Перемещение системы координат в другую начальную точку называют сдвигом или смещением системы координат.

Кроме того новая система координат может быть не только "сдвинута" относительно старой, но и "развернута" на некоторый угол.

Поворот системы координат называют разворотом системы координат

Из этого не хитрого примера следует очень важный вывод:

Каждый раз, когда мы работаем с координатами в геодезии мы должны точно знать и понимать в какой именно системе координат мы сейчас работаем!

Забегая наперед скажу, что в геодезии одновременно могут применяться разные системы координат на объектах. Поэтому если вам передали данные в системе координат А, а ваш проект сделан в системе координат Б - то данные в этот проект поступят с "ошибкой" и это приведет к путаннице и, возможно, к большим проблемам. Поэтому если Вы получили координаты некоторых объектов, но не знаете в какой системе координат (далее я буду сокращать "система координат" до СК) эти данные были получены - то вам НЕЛЬЗЯ продолжать работать с этими данными, пока вы точно не установите в какой СК они получены. 

С различными СК мы познакомимся далее, а пока мы будем работать в "учебной СК" :)

Подведем Итог:

В прямоугольной системе координат положение объекта определяется тремя координатами XYH (или XYZ).

Один и тот же объект имеет разные координаты в разных системах координат.

При работе с данными надо точно знать в какой СК эти данные записаны.

Градусные величины в геодезии

Понятие градуса угла

Возможно кто-то со школы забыл, поэтому быстро напомню.

Окружность делят на 360 равных частей - каждую такую укловую часть называют градусом.

1 градус = 60 минутам

1 минута = 60 секундам

Например величина 60г15м18с обычно обозначается 60°15'18'' и читается как "60 градусов 15 минут 18 секунд"

Градусные величины могут отображаться только в градусах, в градусах с минутами и в градусах с секундами

Например Величина 10г30м0с = 10.5г

Частенько начинающие (и продолжающие) путаются, когда надо перевести угол из ГМС (градусы-минуты-секунды) в Г.ГГ (в десятичные градусы).

Формула для перевода из десятичной дроби: a°b'c" = (a + b/60 + c/3600)°

Где: a - градусы, b - минуты, c - секунды. 

Пример перевода градусов, минут и секунд в десятичные градусы

Необходимо перевести 5°10′15″ в десятичные градусы

По формуле a°b′c″=(a+b/60+c/3600)°,

где a-градусы, b-минуты, c-секунды

5°10′15″ = 5+10/60+15/3600 = 5.1708333333°

Можете потренироваться в переводах туда-обратно или воспользоваться одним из многих онлайн калькуляторов для перевода градусов. Например этим или этим.

Вообще всегда стоит помнить про разные онлайн конверторы и калькуляторы. Часто они экономят массу времени :)

С градусами разобрались .. едем дальше.

Полярная система координат

Кроме прямоугольной системы координат в основе геодезических измерений лежит также полярная СК.

Образуется она очент просто:

Есть начальная точка - на рисунке она красная

Есть "Начальное направление" или "Линия ориентирования" (что-то типа оси X)  - на рисунке она красная штрих-пунктирная и смотрит "вверх".

В этой плоской системе положение точки определяется двумя параметрами:

1. Горизонтальным углом (синий)

2. Расстоянием на плоскости (зеленый)

3. Превышением точки (на рисунке не показан, но разберемся с этим позже :) )

Все довольно просто.

Начнем разбираться в угловыми величинами.

Горизонтальный угол

Немного определений:

Горизонтальный угол (ГУ) - угол на плоскости между двумя линиями. Измеряется в градусах и отсчитывается по-часовой стрелке (почти всегда).

ГУ может изменяться в диапазоне от 0 до 360 градусов.

Поскольку измерять ГУ мы можем не только из начала координат, но и между двумя любыми линиями..

... для однозначности нам надо ввести еще одно определение.

Дирекционный угол

Дирекционный угол (ДУ) - это плоский угол, который измеряется в полярной системе координат от "ориентирного направления", принятого в этой СК, до направления на конкретную точку. Всегда измеряется по-ходу часовой стрелки.

Дирекционный угол и Горизонтальный угол - это разные вещи. ГУ может быть измерян между двумя любыми линиями, а ДУ - только от "ориентирного направления".

Или в нашем случае можем пока считать, что ГУ измеряется между двумя линиями, а ДУ измеряется между направлением на Север (по оси X) и направлением линии. ГУ измеряется только в плоскости XY. То есть он плоский.

У каждой линии есть свой ДУ:

Значение дирекционного угла зависит от направления линии.

На рисунке ниже ДУ для линии от точек 1-2 и от точек 2-1 - разный.

Таким образом в геодезии каждая линия имеет еще и направление. У линии есть начальная точка и есть конечная точка.

Если мы примем что у нас есть линия с началом в 1 и концом в 2, то

ДУ(1-2) называют прямым дирекционным углом линии 1-2, а

ДУ(2-1) называют обратным дирекционным углом

Понятие дирекционного угла линии крайне важно в геодезии.

Дирекционный угол в литературе обычно обозначают буквой "альфа", но я буду везде писать ДУ :)

Четверти плоскости

Также для расчетов нам понадобится понятие "четверти". Тут все просто. Координатная плоскость делится на четыре четверти

На рисунке кроме нумерации четвертей (римскими цифрами от 1-4) можно увидеть признаки определения четверти по знаку координат. Это нам пригодится далее.

Румбы

Также есть своеобразная система измерения углов, которая называется Румбы.

Что это такое - почитайте сами в Викепедии.

На практике это понятие сейчас практически не встречается. Но иногда про румбы можно увидеть где-то в старых геодезических документах или в учебниках. Так что, что бы вы не пугались - познакомьтесь с румбами.

Закрепить материал и познакомиться с другими угловыми величинами в геодезии вы можете посмотрев мое видео. В нем мы немного забежим вперед, но вреда от этого не будет.

Вертикальный угол

Из предыдущего видео я думаю уже стало понятно, что называют вертикальныс углом (ВУ).

Вертикальный угол - Угол между "горизонтальной плоскостью" (горизонтом) и направлением на точку. Этот угол лежит в "вертикальной" плоскости, в отличае от ДУ и ГУ, которые находятся в плановой плоскости XY.

Посмотрите на связь ДУ и ВУ

Можно сказать, что Дирекционный угол или Горизонтальный угол - это углы, когда мы смотрим "сверху"

А Вертикальный угол - это угол, когда мы смотрим "сбоку".

Вертикальный угол является важнейшим параметром, который измеряет геодезический прибор "тахеометр" (мы с ним познакомимся позже).

Если мы наведем объектив тахеометра на какую-то "цель" - ВУ сбоку будет выглядеть так:

Так же во многих инструментах отсчет Вертикального угла начинается на от горизонта, а от надира

Надир - "виртуальная линия", направленная от точки "вверх" "к небесам".

Многие тахеометры измеряют ВУ от надира.

Подведем итоги:

Угловые величины в геодезии это:

• Дирекционный угол

• Горизонтальный угол

• Вертикальный угол

Линейные величины в геодезии

Превышение (dZ, dH)

Превышение - разность отметок между двумя точками.

Обозначается обычно dZ или dH

Пусть точка А имеет координаты 

X=2  Y=2  H=1

А у точки Б координаты 

X=3  Y=3  H=10

Тогда превышение линии АБ будет 

dZ(АБ) = H(Б) - H(А) = 10 - 1 = 9

Обращаю внимание, что для превышение берется отметка конечной точки и вычитается отметка начальной точки. Не перепутайте.

Если в предыдущем примере мы берем линию от Б к А, то превышение будет 

dZ(БА) = H(А) - H(Б) = 1 - 10 = -9

Положительное превышение показывает, что конечная точка лежит выше начальной точки

Отрицательное превышение говорит о том, что конечная точка расположена ниже начальной.

Наклонное расстояние (S)

Обозначается обычно как "S" - это расстояние между двумя точками. Все очень просто. Это обычное расстояние между точками, измеренное по кратчайшей прямой. Почему же к нему добавили слово "наклонное"?

Это чтобы отличать его от 

Горизонтальное проложение (D)

Это вертикальная проекция S на плоскость XY.

Думаю из рисунка станет понятней

Наклонное расстояние и Проложение - разные величины.

Поскольку Проложение - это один из катетов прямоугольного треугольника (на рис. выше), а S - его гипотенуза - то получается, что чем больше превышение между точкой стояния и целью - тем больше отличаются S и D. Наколонное расстояние всегда больше чем горизонтальное проложение. Поскольку все топографические карты строятся на плоскости (карта - это лист бумаги) - 

на топографических картах все расстояния - это горизонтальные проложения.

Посмотрите видео, где я рассказываю о линейных величинах в геодезии

В заключение обратите внимание, что существует некая "связь" между всеми этими величинами. Особенно важна связь между прямойгольной и полярной системами координат. Что это за связь - мы разберем позже в следующем разделе, а пока посмотрим на картинку:

Таким образом любую полярную систему координат можно поместить в любую полярную СК и существует связь между прямоугольными и полярными координатами точек. Забегая наперед можно почитать об этом в Виепедии.

А мы едем дальше:

4. Прямая геодезическая задача