Silogística

Um pouco de contexto histórico

Aristóteles não foi o primeiro a argumentar, identificar contradições ou investigar raciocínios. Antes dele, os eleatas, os sofistas e Platão já haviam desenvolvido práticas argumentativas sofisticadas.

Sua grande inovação foi transformar determinadas relações de inferência em objeto de uma investigação sistemática, formulando princípios gerais para determinar quando uma conclusão decorre necessariamente de certas premissas.

Os tratados lógicos de Aristóteles foram posteriormente reunidos sob o nome Órganon, termo que significa instrumento. Essa organização não foi feita pelo próprio Aristóteles.

O Órganon (do grego órganon, “instrumento”) é o conjunto de seis tratados tradicionalmente considerados as obras lógicas de Aristóteles. A denominação e a organização desses tratados são posteriores ao próprio filósofo e refletem a concepção da lógica como um instrumento para a investigação filosófica e científica.

Tradicionalmente, o Órganon é organizado na seguinte sequência:

Categorias (Categoriae): investiga as diferentes categorias daquilo que pode ser predicado de um sujeito, como substância, quantidade, qualidade e relação. Também examina relações entre termos e conceitos fundamentais da predicação.

Da interpretação (De Interpretatione): estuda as proposições, sua estrutura afirmativa ou negativa, suas relações de oposição e as condições em que podem ser verdadeiras ou falsas. Contém discussões importantes sobre a contradição e as proposições referentes ao futuro.

Analíticos anteriores (Analytica Priora): apresenta a teoria aristotélica do silogismo, investigando as condições em que uma conclusão decorre necessariamente de determinadas premissas. Desenvolve a classificação dos silogismos em figuras e modos, os procedimentos de demonstração de sua validade e a silogística modal.

Analíticos posteriores (Analytica Posteriora): investiga a demonstração científica (apódeixis), distinguindo-a da dedução em geral. Examina os princípios do conhecimento científico, a natureza das definições, a explicação causal e as condições necessárias para possuir conhecimento demonstrativo.

Tópicos (Topica): estuda a argumentação dialética, isto é, os raciocínios que partem de opiniões geralmente aceitas (éndoxa). Apresenta procedimentos e estratégias para construir argumentos, examinar problemas e conduzir discussões filosóficas.

Refutações sofísticas (De Sophisticis Elenchis): investiga os argumentos aparentemente válidos que, na realidade, envolvem erros de raciocínio. Apresenta uma classificação de diferentes tipos de falácias e examina como identificá-las e refutá-las.

Em conjunto, esses tratados abrangem desde o estudo dos termos e das proposições até as formas de dedução, a demonstração científica, a argumentação dialética e a identificação de raciocínios falaciosos.

É importante observar que o Órganon não constitui uma obra unitária escrita por Aristóteles nessa sequência. Trata-se de uma coleção organizada pela tradição peripatética posterior, cuja estrutura se consolidou ao longo da Antiguidade.

Hoje frequentemente chamamos de silogismo qualquer argumento que possua duas premissas categóricas e uma conclusão, independentemente de sua validade.

Entretanto, a definição de silogismo apresentada por Aristóteles nos Analíticos anteriores I.1, 24b18–20, exige que a conclusão decorra necessariamente das premissas.

Assim, no sentido aristotélico mais rigoroso, um silogismo é uma dedução genuína, não simplesmente uma tentativa de dedução.

O Silogismo

Nos Analíticos Anteriores, Aristóteles nos apresenta uma teoria do que ele chama de "silogismo", investigando as condições em que uma conclusão decorre necessariamente de determinadas premissas. Mas o que é um silogismo?

**Aristóteles utilizava o termo silogismo (συλλογισμός, syllogismós), e não a expressão técnica silogismo categórico. Esta última se consolidou posteriormente, na tradição peripatética.

No sentido mais estrito, um silogismo categórico é um argumento com duas proposições categóricas que desempenham o papel de premissas e uma proposição categórica que é a conclusão.

No sentido mais amplo, o qual é encontrado nos Analíticos Anteriores (I, 1, 24b18–20), silogismo é um argumento dedutivo no qual, estabelecidas determinadas premissas, uma conclusão distinta delas decorre necessariamente em virtude de sua estrutura lógica.

Para entendermos o que é um silogismo, precisamos entender o que são proposições categóricas. Vejamos.

Proposições Categóricas

Desde o período clássico, as proposições foram classificadas de acordo com a qualidade e de acordo com a quantidade ou com a modalidade. Todas as proposições são negativas ou positivas. Todas as proposições são categóricas ou modais. Se uma proposição é modal, pode ser necessária ou contingente. Usando a qualidade, ou tanto a quantidade quanto a modalidade, como base, toda proposição pode ser classificada como A, E, I ou O. Consequentemente, temos formas A E I O quantitativas (também chamadas categóricas) ou modais.

As designações A E I O são um artifício mnemônico em latim. A e l são as duas primeiras vogais de affirmo, eu afirmo, e assim designam as proposições afirmativas. E e O são as vogais em nego, eu nego, e assim designam as proposições negativas.

Por que são chamadas de categóricas?

As proposições são chamadas categóricas porque o termo deriva do grego katēgoría (κατηγορία), que, no contexto da lógica aristotélica, está relacionado à noção de predicação, isto é, à atribuição ou negação de um predicado a um sujeito.

O termo grego katēgoreîn (κατηγορεῖν) significa originalmente algo como acusar, afirmar a respeito de alguém ou predicar.

Assim, uma proposição categórica é aquela que afirma ou nega algo de um sujeito, de maneira direta.

Por exemplo:

- Todo homem é mortal: atribui o predicado mortal a todos os homens.

- Nenhum homem é imortal: nega o predicado imortal de todos os homens.

- Algum homem é filósofo: atribui o predicado filósofo a pelo menos um homem.

Em todos esses casos, temos uma relação de predicação entre dois termos: sujeito e predicado.

Por que não são chamadas simplesmente de proposições predicativas?

Porque o termo categórica também adquiriu um significado técnico: a predicação é feita sem depender de uma condição expressa.

Compare:

- Categórica: Todo homem é mortal.

- Hipotética: Se Sócrates é homem, então Sócrates é mortal.

A primeira afirma diretamente uma relação entre sujeito e predicado. A segunda estabelece uma relação condicional entre proposições.

Essa oposição entre categórico e hipotético tornou-se especialmente importante na tradição lógica posterior a Aristóteles.

Obs.: o nome "proposição categórica" está relacionado etimologicamente às Categorias de Aristóteles, mas não significa que essas proposições enumerem as dez categorias aristotélicas. Em ambos os casos, a origem conceitual está na noção de predicação.

Termos

Termo maior (P): é o predicado da conclusão.

Termo menor (S): é o sujeito da conclusão.

Termo médio (M): é o termo que aparece nas duas premissas, mas não aparece na conclusão.

Origem das denominações

As denominações maior, menor e médio remontam à silogística de Aristóteles. Originalmente, esses nomes estavam relacionados à posição dos termos nas relações de predicação e inclusão estabelecidas no silogismo.

Todo animal é mortal.
Todo homem é animal.
Logo, todo homem é mortal.

O termo maior é mortal, o termo menor é homem e o termo médio é animal.

Nesse caso, o termo maior possui a maior extensão, o termo menor possui a menor extensão e o termo médio ocupa uma posição intermediária. Entretanto, essa relação de extensão não se verifica em todos os silogismos. Por isso, na classificação tradicional, os termos são identificados por suas funções na conclusão e nas premissas, e não por suas extensões.

**Essa nomenclatura se encontra nos Analíticos Anteriores, livro I, capítulo 4, de Aristóteles. Convém observar que a identificação dos termos maior e menor exclusivamente por sua função na conclusão é uma padronização posterior da tradição lógica.

Modos e Figuras

Na silogística aristotélica, os silogismos categóricos são classificados de acordo com seus modos e figuras.

O modo de um silogismo é determinado pela quantidade e pela qualidade das proposições que o constituem, isto é, pela combinação das formas categóricas A, E, I e O. Por exemplo, um silogismo cujas premissas e conclusão sejam, respectivamente, uma universal afirmativa (A), outra universal afirmativa (A) e uma universal afirmativa (A) pertence ao modo AAA.

Portanto, é possível encontrar 64 modos (porém, a maioria é inválida):

A figura, por sua vez, é determinada pela posição ocupada pelo termo médio (M) nas duas premissas. Como o termo médio pode aparecer como sujeito ou predicado em cada uma delas, existem quatro combinações possíveis, correspondentes às quatro figuras tradicionalmente reconhecidas.

Desse modo, um silogismo é identificado pela combinação de seu modo e de sua figura. Por exemplo, AAA-1 designa um silogismo com três proposições universais afirmativas, organizado segundo a primeira figura. Esse silogismo é tradicionalmente denominado Barbara.

** Observação historiográfica: Aristóteles, entretanto, sistematizou apenas três figuras. A quarta foi incorporada à tradição lógica posterior.

Formas válidas do silogismo

Como existem quatro formas categóricas possíveis para cada uma das três proposições, temos 4 x 4 x 4 = 64 modos possíveis. Considerando as quatro figuras, de 64 x 4, obtemos 256 combinações de modos e figuras, embora apenas algumas correspondam a silogismos válidos.

Dos 256 “silogismos” possíveis, apenas 19 são válidos. No entanto, cabe uma ressalva: essa quantidade de silogismos válidos depende da tradição, de forma que cada tradição terá sua justificativa para a inclusão ou exclusão de alguns silogismos.

Aristóteles sistematizou 14 modos válidos nas três figuras originais.

A tradição posterior ampliou a classificação para quatro figuras, reconhecendo 19 modos principais ou 24 quando incluímos as formas com conclusões enfraquecidas.

Na interpretação moderna da lógica de predicados, sem importação existencial, apenas 15 dessas 24 formas permanecem válidas.

O quadro abaixo, por exemplo, representa a tradição medieval.

Inferências imediatas (edução)

Na lógica tradicional, as inferências são frequentemente classificadas em imediatas e mediatas.

Uma inferência imediata é aquela em que se obtém uma conclusão a partir de uma única premissa, sem a necessidade de recorrer a uma segunda premissa. Por exemplo:

Premissa: Nenhum cachorro é réptil.

Conclusão: Nenhum réptil é cachorro.

Nesse exemplo, a conclusão decorre necessariamente da premissa, embora tenhamos invertido as posições do sujeito e do predicado.

As inferências imediatas podem ser realizadas mediante diferentes operações lógicas: conversão simples, conversão por limitação, obversão, contraposição e inversão.

Na tradição da lógica categórica, utiliza-se também o termo edução para designar a obtenção de uma proposição a partir de outra mediante determinadas transformações de seus termos ou de sua qualidade e quantidade. A terminologia varia entre os manuais, sendo comum tratar conversão, obversão e contraposição como formas de edução.

Conversão simples

A conversão consiste em trocar as posições do sujeito e do predicado de uma proposição categórica.

Entretanto, nem todas as proposições categóricas admitem conversão simples. Sua validade depende da forma da proposição original.

Na conversão simples, trocamos sujeito e predicado sem alterar a quantidade nem a qualidade da proposição.

As proposições E e I admitem conversão simples.

Conversão de A (INVÁLIDA)

Original: Todo cachorro é mamífero.

Convertida: Todo mamífero é cachorro.

Conversão de E (VÁLIDA)

Original: Nenhum cachorro é réptil.

Convertida: Nenhum réptil é cachorro.

A inferência é válida porque, se nenhum cachorro pertence à classe dos répteis, nenhum réptil pertence à classe dos cachorros.

Conversão de I (VÁLIDA)

Original: Alguns filósofos são matemáticos.

Convertida: Alguns matemáticos são filósofos.

A inferência é válida porque a existência de pelo menos um indivíduo pertencente simultaneamente às duas classes não depende da ordem em que as mencionamos.

Por outro lado, as proposições A e O não admitem conversão simples em geral.

Conversão de O (INVÁLIDA)

Original: Alguns mamíferos não são cachorros.

Convertida: Alguns cachorros não são mamíferos.

Essas transformações são inválidas porque a verdade das proposições originais não garante a verdade das proposições convertidas.

Conversão por limitação (per accidens)

A conversão por limitação consiste em trocar sujeito e predicado e passar de uma proposição universal para uma particular.

Por exemplo:

Original (A): Todo cachorro é mamífero. --> Convertida (I): Alguns mamíferos são cachorros. (VÁLIDA)

Original (E): Nenhum gato é ave. --> Convertida (O): Alguma ave não é gato. (VÁLIDA)

A inferência é válida desde que existam cachorros.

Entretanto, na interpretação moderna da lógica de predicados, a verdade de uma proposição universal afirmativa não implica necessariamente a existência de objetos pertencentes à classe do sujeito.

Assim, a conversão por limitação depende de um pressuposto existencial. Ver problema da “importação existencial”.

Obversão

A obversão consiste em transformar uma proposição categórica mediante duas operações simultâneas:

Alterar sua qualidade: de afirmativa para negativa ou de negativa para afirmativa.
Substituir seu predicado pelo respectivo complemento.

Diferentemente da conversão simples, a obversão é válida para as quatro formas categóricas.

Obversão de A em E (VÁLIDA)

Original: Todo cachorro é mamífero. --> Obversa: Nenhum cachorro é não mamífero.

A proposição original afirma que todos os cachorros pertencem à classe dos mamíferos. Sua obversa afirma que nenhum cachorro pertence à classe dos não mamíferos.

As duas proposições são logicamente equivalentes.

Obversão de E em A (VÁLIDA)

Original: Nenhum cachorro é réptil. --> Obversa: Todo cachorro é não réptil.

As duas proposições expressam a mesma relação entre as classes.

Obversão de I em O (VÁLIDA)

Original: Alguns filósofos são matemáticos. --> Obversa: Alguns filósofos não são não matemáticos.

Embora a segunda formulação seja linguisticamente menos natural, ela é logicamente equivalente à primeira.

Obversão de O em I (VÁLIDA)

Original: Alguns filósofos não são matemáticos. --> Obversa: Alguns filósofos são não matemáticos.

Novamente, a equivalência é preservada.

Portanto, se a proposição original é verdadeira, sua obversa também é verdadeira, e vice-versa.

Contraposição

A contraposição consiste em trocar as posições do sujeito e do predicado, substituindo ambos pelos respectivos complementos.

Assim:

Original: Todo S é P. --> Contraposta: Todo não-P é não-S.

Contraposição de A (VÁLIDA)

Original: Todo cachorro é mamífero. --> Contraposta: Todo não mamífero é não cachorro.

Essa inferência é válida.

Se todos os cachorros pertencem à classe dos mamíferos, então nenhum objeto que não seja mamífero pode ser cachorro.

Contraposição de E (INVÁLIDA)

A contraposição completa não é válida, em geral, para proposições E e I.

Original: Nenhum cachorro é réptil. --> Contraposta: Nenhum não réptil é não cachorro.

Essa contraposição é inválida. Existem objetos que não são répteis nem cachorros, como os gatos. Portanto, a proposição original pode ser verdadeira enquanto sua contraposta é falsa.

Contraposição de I (INVÁLIDA)

Original: Algum S é P. --> Contraposta: Algum não-P é não-S.

Contraposição de O (VÁLIDA)

Original: Alguns animais não são mamíferos. --> Contraposta: Alguns não mamíferos não são não animais.

Apesar de pouco natural linguisticamente, a contraposição é válida.

A proposição original afirma que existe pelo menos um animal fora da classe dos mamíferos. A contraposta expressa a existência de um não mamífero que pertence à classe dos animais.

A contraposição pode ser obtida por outras operações?

Sim. A contraposição completa de uma proposição A pode ser construída mediante uma sequência de obversão, conversão simples e obversão.

Observe:

Proposição original: Todo S é P.

Obversão: Nenhum S é não-P.

Conversão: Nenhum não-P é S.

Obversão: Todo não-P é não-S.

Chegamos precisamente à contraposta da proposição original.

Portanto, a contraposição não precisa ser considerada uma operação inteiramente independente das demais. Ela pode ser obtida pela composição de operações inferenciais mais elementares.

Inversão

Além das três operações anteriores, alguns manuais tradicionais apresentam a chamada inversão.

A inversão consiste em obter uma proposição cujo sujeito é o complemento do sujeito original.

É importante observar que a inversão não possui a mesma centralidade histórica ou didática da conversão, da obversão e da contraposição. Além disso, sua terminologia e suas regras variam entre os manuais.

Uma forma frequentemente apresentada é a inversão parcial de uma proposição A.

Original: Todo S é P.

Conclusão: Algum não-S não é P.

Por exemplo:

Original: Todo cachorro é mamífero.

Conclusão: Algum não cachorro não é mamífero.

Essa inferência não é válida apenas em virtude da proposição original. Para justificá-la, seriam necessários pressupostos adicionais, especialmente a existência de objetos fora da classe P.

Há também formulações de inversão envolvendo proposições particulares e termos complementares.

Por sua dependência de pressupostos adicionais e pela diversidade de definições encontradas na tradição, a inversão costuma receber menor atenção nos cursos introdutórios contemporâneos.

Distribuição dos Termos

O que significa um termo ser distribuído?

A distribuição é uma característica dos termos usados numa proposição e não de um termo isolado. Um termo é distribuído se for usado em sua extensão completa. É não-distribuído se for usado numa extensão menor do que a completa.

Regras Formais de Distribuição

A quantidade (ou modalidade) de uma proposição determina a distribuição do seu sujeito. A qualidade de uma proposição determina a distribuição de seu predicado.

1. Uma proposição total (ou necessária) distribui o seu sujeito.

2. Uma proposição parcial (ou contingente) tem o seu sujeito não-distribuído.

3. Uma proposição negativa distribui o seu predicado (porque este se exclui todo do sujeito).

4. Uma proposição afirmativa tem seu predicado não-distribuído (porque o predicado é normalmente um termo mais amplo em extensão do que o sujeito).

Regras do Silogismo e Falácias Formais

As seguintes regras regem o silogismo:

Regra 1. Um silogismo deve conter três e apenas três termos. A falácia que resulta da violação desta regra é um quarto termo.

Regra 2. Um silogismo deve conter três e apenas três proposições. A falácia que resulta da violação desta regra é uma quarta proposição.

Regra 3. O termo médio deve estar distribuído em pelo menos uma das premissas (porque deve servir como o todo lógico sobre o qual o princípio do raciocínio silogístico se baseia). A falácia que resulta da violação desta regra é o termo médio não-distribuído.

Regra 4. Não há termo que, tendo sido não-distribuído na sua própria premissa, possa ser distribuído na conclusão. A falácia que resulta da violação desta regra é processo ilícito do termo maior ou do termo menor. Note que um termo que está distribuído na sua premissa poderá, todavia, estar não-distribuído na conclusão, pois não é processo ilícito tirar de alguma coisa menos do que nela há. Não pode haver processo ilícito do termo médio, pois as duas premissas são independentes. Uma premissa não deriva da outra, em contraste com a conclusão, que deriva das duas premissas.

Regra 5. De duas premissas negativas não há conclusão que possa ser tirada. Só se pode inferir uma relação entre dois termos dados quando pelo menos um deles se relaciona com um terceiro comum, este é exatamente o princípio no qual se baseia o raciocínio silogístico. A falácia que resulta da violação desta regra são duas premissas negativas.

Regra 6. Se uma premissa for negativa, a conclusão será negativa. De modo inverso e a fim de provar uma conclusão negativa, uma premissa precisa ser negativa. Se um termo está incluído no termo médio e outro está dele excluído, na conclusão os dois termos devem estar reciprocamente excluídos um do outro. A falácia que resulta da violação desta regra é uma conclusão negativa sem uma premissa negativa.

Regra 7. A partir de duas premissas parciais ou singulares (ou contingentes), não há conclusão a ser tirada. (Esta regra é um corolário das Regras 3, 5 e 6). A falácia que resulta da violação desta regra são duas premissas parciais (ou contingentes).

Regra 8. Se uma premissa for parcial, a conclusão será parcial. (Esta regra é um corolário das Regras 3 e 4). A falácia que resulta da violação desta regra será uma conclusão geral num silogismo onde há uma ou mais premissas parciais.

Regra 9. Se uma das premissas for contingente, a conclusão será contingente. A fim de provar uma conclusão necessária, ambas as premissas deverão ser necessárias na modalidade. A falácia que resulta da violação desta regra é uma conclusão necessária ou categórica com uma premissa contingente.

Regra 10. Se uma ou ambas as premissas forem empíricas, a conclusão será empírica. A fim de provar uma conclusão geral, ambas as premissas devem ser proposições gerais. A falácia que resulta da violação desta regra é uma conclusão geral com uma premissa empírica.

Duas das regras gerais do silogismo se preocupam com a sua matéria (1 e 2); duas com a distribuição, a consideração mais importante (3 e 4); duas com a qualidade (5 e 6); duas com a quantidade (7 e 8); duas com a modalidade (7 e 9); e uma com a referência à realidade, à essência ou ao indivíduo (10).

Formas proposicionais

Diagramas de Venn-Euler

Entinemas

Quadrado das Oposições

Hexágono das Oposições

Teste da Estrela (Harry Gensler)

Método do Antilogismo (de Christine Ladd-Franklin)

EXERCÍCIOS

a) Quais os termos (médio, maior e menor) das proposições?

b) Qual o modo do silogismo?

c) Qual a figura do silogismo?

d) Identifique se cada termo está distribuído ou não-distribuído.

e) O argumento é válido? Utilize o diagrama de Venn para determinar sua validade.

f) O argumento é válido? Utilize as regras clássicas do silogismo para determinar sua validade.

g) O argumento é válido? Utilize o antilogismo de Ladd-Franklin para determinar sua validade.

h) O argumento é correto?

Argumento 1

Toda baleia é um mamífero.

Nenhum peixe é mamífero.

Logo, nenhum peixe é baleia.

Argumento 2

Todas as baleias são vertebrados.

Todas as baleias são animais aquáticos.

Logo, alguns animais aquáticos são vertebrados

Argumento 3

Todos os leões são mamíferos.

Alguns animais são leões.

Portanto, todos os animais são mamíferos.

Argumento 4

Algum aluno é preguiçoso.

Algum aluno é estudioso.

Portanto, alguns alunos estudiosos são preguiçosos.

Argumento 5

Nenhuma refeição é grátis.

Todas as coisas grátis são desejáveis.

Algumas coisas desejáveis não são refeições.

Argumento 6

Algumas pessoas malignas são advogadas.

Todos os advogados são humanos.

Alguns humanos são malignos.

Argumento 7

Todos os grandes cientistas são formados em universidades.

Alguns atletas profissionais são formados em universidades.

Portanto, alguns atletas profissionais são grandes cientistas.

Argumento 8

Todos os cães são mamíferos.

Nenhum gato é cão.

Portanto, nenhum gato é mamífero.

Argumento 9

Alguns papagaios não são animais nocivos.

Todos os papagaios são animais de estimação.

Portanto, nenhum animal de estimação é nocivo.

Page updated

Google Sites

Report abuse