LC = Livia Corsi

GG = Guido Gentile

Lezione 1 - 24 febbraio (LC)

Definizione di sistema dinamico. Traiettorie, orbite e flussi. Corrispondenza tra sistemi dinamici ed equazioni differenziali ordinarie. Equilibrio dinamico: punti di equilibrio stabile, instabile, attrattivo e asintoticamente stabile. Esempi.

Lezione 2 - 25 febbraio (LC)

Linearizzazione: studio della stabilità di un punto di equilibrio sulla base degli autovalori del sistema linearizzato (solo enunciati): caso in cui almeno un autovalore abbia parte reale positiva e caso in cui tutti gli autovalori abbiano parte reale negativa. Esempi in dimensione uno. Esempio in dimensione due di un caso in cui il linearizzato non dà informazioni sulla stabilità. Teorema di Ljapunov: enunciato e idea della dimostrazione.

Lezione 3 - 26 febbraio (LC)

Dimostrazione del teorema di Ljapunov. Traiettorie periodiche. Insiemi invarianti. Costanti del moto. Studio di un sistema dinamico planare che ammette una costante del moto: esercizio 5.29 di [G1].

Lezione 4 - 3 marzo (LC)

Assenza di punti di equilibrio asintoticamente stabili per sistemi che ammettono una costante del moto. Sistemi meccanici conservativi. Teorema di Dirichlet. Il pendolo semplice seza attrito. Sistemi conservativi a un grado di libertà: inizio della discussione del caso generale.

Lezione 5 - 4 marzo (LC);

Sistemi meccanici conservativi a un grado di libertà: discussione del caso generale - punti di inversione, orbite periodiche, omocline ed eterocline. Esempio del sistema meccanico con potenziale della forma V(x) = x^3e^{-x^2}. Tempi di percorrenza delle traiettorie come integrali definiti.

Lezione 6 - 5 marzo (LC)

Periodo nell'approssimazione delle piccole oscillazioni. Problema dei due corpi: introduzione al problema, moto del centro di massa, conservazione della quantità di moto e del momento angolare, descrizione del moto relativo nel piano in cui si svolge il moto in coordinate polari.

Lezione 7 - 10 marzo (LC)

Discussione degli esercizi 15, 12, 7 e 8.2 del tutorato 1

Lezione 8 - 11 marzo (LC)

Problema dei due corpi: periodicità dei moti e prima forma dell'equazione delle orbite. Il potenziale gravitazionale: studio del potenziale, analisi qualitativa del moto della variabile radiale e determinazione delle orbite (inizio).

Lezione 9 - 12 marzo (LC)

Il potenziale gravitazionale: determinazione delle orbite (fine). Dimostrazione delle leggi di Keplero. Eccezionalità del campo cetrale gravitazionale e del campo centrale armonico: teorema di Bertrand (solo enunciato).

Lezione 10 - 17 marzo (GG)

Esercizio 1, appello 4 A.A. 2024/25

Esercizio 4, recupero del primo esonero, A.A. 2024/25

Lezione 11 - 18 marzo (LC)

Moti relativi: sistemi di riferimento fissi e mobili. Legge di trasformazione delle velocita' e forze apparenti.

Lezione 12 - 19 marzo (LC)

Vincoli (olonomi, anolonomi, bilateri, unilateri), vincoli regolari e indipendenti, superficie di vincolo, traiettorie virtuali, equazioni del moto e forze vincolari. Vincoli perfetti, principio di d'Alembert e sue conseguenze. Calcolo delle forze vincolari mediante i moltiplicatori di Lagrange. Esempio: deduzione dell'equazione del pendolo semplice.

Lezione 13 - 24 marzo (LC)

Corpi rigidi discreti: definizione, spazio delle configurazioni, sistema di riferimento solidale col corpo rigido. Corpi rigidi continui: definizione, massa, volume, centro di massa. Caratteristiche cinematiche dei corpi rigidi (discreti): quantita' di moto, momento angolare, energia cinetica: teorema di König, operatore di inerzia, momenti principali di inerzia e assi di inerzia.

Lezione 14 - 25 marzo (GG)

Esercizio 5, Primo esonero A.A. 2023/24

Esercizio 5, Recupero del primo esonero A.A. 2021/22

Lezione 15 - 26 marzo (LC)

Momenti di inerzia rispetto a un asse. Teorema di Hyugens-Steiner. Vincoli di mobilità. Rotolamento senza strisciamento.

Lezione 16 - 31 marzo (LC)

Formalismo lagrangiano. Spazio delle traiettorie, spazio delle deformazioni, lagrangiana, funzionale d'azione ed equazioni di Eulero-Lagrange. Principio variazionale di Hamilton (o di minima azione). Lagrangiana di un sistema meccanico conservativo: equivalenza tra le equazioni di Newton e quelle di Eulero-Lagrange.

Lezione 17 - 1 aprile (GG)

Sistemi vincolati e forze vincolari: il piano inclinato, il pendolo semplice piano e sferico

Lezione 18 - 2 aprile (LC)

Lagrangiane vincolate: equivalenza delle equazioni di Eulero-Lagrange vincolate e le equazioni di Newton integrate col principio di d'Alembert. Esempi: il pendolo semplice piano e sferico usando la Lagrangiana vincolata. 

Lezione 19 - 8 aprile (LC)

Conservazione dell'energia associata a una lagrangiana indipendente dal tempo. Forma generale della lagrangiana di un sistema meccanico conservativo soggetto a vincoli olonomi, bilateri, suo sistema dinamico associato. Configurazioni di equilibrio: stabilità/instabilità

Lezione 20 - 9 aprile (LC)

Invarianza delle equazioni del moto se si aggiunge una derivata totale alla lagrangiana. Variabili cicliche (mute) di un sistema lagrangiano e Teorema di Routh. Esempio: applicazione del teorema di Routh al problema dei due corpi. Studio di un sistema lagrangiano: esercizio 2.26 di [G2]

Lezione 21 - 14 aprile (LC)

Discussione dell'esercizio 1 del tutorato di Pasqua, e dell'esercizio 3 del tutorato 4

Lezione 21 - 15 aprile (GG)

Esercizio 2, Recupero del primo esonero A.A. 2021/22. 

Periodo delle piccole oscillazioni per potenziali della forma V(x)=x^2n.

Esercizio 5, Recupero del primo esonero A.A. 2022/23 (impostazione del problema e discussione della forza di Coriolis)

Lezione 22 - 16 aprile (LC)

Esercizio 10 del tutorato 5

Esercizio 5 del recupero del primo esonero A.A. 2022/23

Esercizio 8 del tutorato di Pasqua

Lezione 23 - 28 aprile (LC)

Gruppi a un parametro di diffeomorfismi e loro sollevamenti. Momento associato a un campo vettoriale tramite una lagrangiana: la derivata nel tempo del momento associato a un campo e' uguale alla derivata nel parametro della lagrangiana calcolata lungo il flusso del campo. Corollario: una lagrangiana ammette una simmetria se e solo se ammette un momento conservato.

Lezione 24 - 29 aprile (LC)

Il teorema di Noether: enunciato e dimostrazione. 

Lezione 25 - 30 aprile (LC)

Commutatore di due campi vettoriali e dei gruppi corrispondenti: teorema di Noether nel caso di piu' gruppi di simmetrie (senza dimostrazione). Applicazione al problema dei due corpi: riduzione progressiva dei gradi di liberta'.

Lezione 26 - 5 maggio (GG)

tba