FRACTALES DE NEWTON-raphson
Emilio Rojo Quezadas
MAYO DEL 2023
¿Qué son las raíces polinomiales?
En un primer acercamiento al tema, realmente suena como una idea muy sencilla: dado algún polinomio, encuentra los valores de la variable de entrada con los cuales el polinomio es igual a cero. Por ejemplo, considera la siguiente función polinomial:
Encontrar las raíces de este polinomio de tercer grado significa básicamente resolver esta ecuación:
Sencillo, ¿no? Pues muchas veces, como veremos más adelante, puede llegar a ser realmente muy complicado.
Otro ejemplo — muy popular por cierto— es uno que a todas las personas les enseñan en secundaria: la famosa fórmula cuadrática, conocida coloquialmente como la chicharronera. Esta fórmula nos es útil para encontrar las raíces de cualquier polinomio que sea de segundo grado; quizá recuerdes que las soluciones de una ecuación con la forma
están dadas por esta maravillosa fórmula 'del chicharronero':
Pero ¿qué pasa si queremos encontrar las raíces de polinomios de grados mayores a dos? ¿Qué hacemos? Resulta que hasta en el caso más sencillo después del de segundo grado, este problema escala enormemente en complejidad. La búsqueda de una fórmula general para resolver ecuaciones de tercer grado es una historia larga; incluso en alguna época se pensó que era imposible. Sin embargo, algunas de las grandes mentes matemáticas de los siglos XV y XVI lograron resolver este problema después de una serie de traiciones, venganzas y algo de drama matemático aderezando el asunto [1, 2]. Eventualmente, lograron encontrar la fórmula cúbica [3]:
Ese fue un salto bastante grande; de una fórmula sencilla que cualquier adolescente puede aprender a una fórmula enorme que tiene dos raíces cúbicas y cada una con una raíz cuadrada dentro de ella. Y los matemáticos no se detuvieron ahí, también existe la fórmula cuártica, que por brevedad y para no desviarnos tanto del tema central, la omitimos en este escrito. Sin embargo, la historia de fórmulas para encontrar raíces polinomiales exactas termina aquí y no es porque no ha nacido una mente brillante que descubra más de estas fórmulas, sino porque precisamente una mente brillante demostró que es imposible escribir una fórmula general para resolver ecuaciones de grado igual o mayor a cinco. Para más información sobre el misterio de la quíntica, se recomienda investigar acerca de la teoría de Galois; la referencia [4] puede ser un buen punto de partida.
Pero no pierdas el ánimo por las raíces polinomiales. Si en algo somos buenos los humanos, es en no tomar un 'no' como respuesta y aquí es donde nos adentramos al tema del método de Newton-Raphson para encontrar aproximaciones de raíces.
¿Qué es el método de Newton-Raphson?
Isaac Newton hizo muchas aportaciones a la ciencia durante su vida, una de las que sigue siendo estudiada y reconocida como una herramienta fundamental es el cálculo diferencial. Con el concepto de la derivada de una función, Newton descubrió una forma de calcular la pendiente de una recta que es tangente a la gráfica de dicha función. El método de Newton-Raphson para aproximar raíces de polinomios es uno de los incontables usos que se le pueden dar a este concepto [5]. A continuación mostramos un ejemplo para ilustrarlo.
En la imagen se muestra en verde la gráfica de la función cúbica con la que inicia este artículo. Además de la raíz trivial en x = 0, tiene otras dos. Se buscará una de ellas con el método de Newton-Raphson.
El primer paso consiste en tomar al azar algún punto de la gráfica, por ejemplo el punto con coordenadas (2, 2) marcado con color naranja.
Luego, se traza la recta tangente a ese punto de la gráfica (recta roja punteada), que en general está dada por la ecuación y = f'(x0) · (x - x0) + f(x0), en donde x0 es la abscisa del punto de interés (en el caso de la imagen, se tiene x0 = 2 ) y f' denota la derivada de f.
Después, se busca el punto (x1, 0) en el que esa recta cruza al eje horizontal, lo cual se indica con una cruz azul en la imagen. Para ello, se resuelve la ecuación: 0 = f'(x0) · (x1 - x0) + f(x0), que conduce al siguiente resultado:
Lo que tenemos que hacer a continuación es repetir estos tres pasos, pero ahora tomando el último resultado como la abscisa de nuestro punto inicial, es decir, partiendo del punto con coordenadas (x1, f(x1)). En cada iteración, se reduce el margen de error de la aproximación de la raíz.
Este es un truco excelente para encontrar y aproximar raíces, ya que sin importar en dónde se inicie, este método eventualmente conduce hacia una raíz. Sin embargo, cuando el punto inicial está más cerca de un punto crítico (máximos y mínimos locales o puntos silla), se requieren de muchas más iteraciones antes de que comience a converger hacia la raíz que se busca.
Subiendo la complejidad
Conociendo el método de Newton-Raphson, al igual que su efectividad, pueden surgir las dudas: ¿esto sirve para cualquier función? y ¿qué tal que no estamos tratando con números reales, sino en el plano complejo? Especialmente la segunda de estas preguntas es muy interesante, pues la respuesta es que sí se puede utilizar también con funciones complejas y el resultado es algo tan sorprendente que te dejará sin palabras.
Primero es importante familiarizarse con las funciones complejas. En el plano complejo se tienen dos identificadores para los números: su parte real y su parte imaginaria. La única diferencia entre estas dos es que la parte imaginaria es la que está siendo multiplicada por la unidad imaginaria, es decir, por la raíz cuadrada de -1, que se suele denotar con la letra i. Este hecho de que los números complejos son bidimensionales implica que una función que toma de entrada un número complejo y produce otro número complejo es una función de cuatro dimensiones (dos de entrada y dos de salida), a diferencia de las funciones con números reales, que son funciones bidimensionales y por eso se pueden representar como curvas en un plano, lo cual no es posible con funciones complejas.
Para nuestro ejemplo del método de Newton-Raphson con una función compleja, se usará la siguiente función:
En donde z es un número complejo.
Ya que se tienen dos grados de libertad en la entrada de la función, ahora se debe elegir al azar un punto sobre el plano complejo (en lugar de tomar un punto sobre la gráfica de la función como en el caso real) e insertarlo en la fórmula recursiva que se obtuvo anteriormente, es decir, si nombramos z0 a este punto inicial, el siguiente punto está dado por:
Ahora, utilizando una computadora, se puede tomar una cantidad enorme de puntos en el plano complejo y aplicar varias veces con cada uno de ellos la misma fórmula recursiva del método de Newton-Raphson para analizar hacia dónde se van desplazando en el plano complejo. Eventualmente, cada uno de ellos se irá acercando a alguna de las raíces de la función en cuestión.
En el ejemplo que se realizó en este trabajo, se llevaron a cabo cincuenta iteraciones y se generó una representación gráfica del proceso, dando como resultado la imagen mostrada a un lado.
Para producir esta imagen, después de que todos los puntos que se tomaron al inicio se movieron de acuerdo con el método de Newton-Raphson, se marcaron de color rojo, verde o azul dependiendo de cuál fue la raíz a la que se acercaron al final. Una vez coloreados todos los pixeles, se regresaron todos los puntos a su lugar original.
La función específica que se usó aquí ha sido estudiada con gran profundidad y el detalle que más llama la atención es que el borde de todos los colores es EXACTAMENTE el mismo y se trata de un fractal.
El fractal que resulta de este procedimiento es un ejemplo de un conjunto de Julia, nombrados así en honor al matemático francés Gaston Julia, quien estudió detalladamente la producción de fractales siguiendo procedimientos como el que se usó aquí.
¡Anímate a generar tus propios fractales de Newton-Raphson y comparte con nosotros tus resultados!
Contáctanos en el correo: actuaria@ibero.mx
Referencias
[1]: 500 years of NOT teaching THE CUBIC FORMULA. What is it they think you can't handle?, Mathologer, YouTube.
[2]: How Imaginary Numbers Were Invented, Veritasium, YouTube.
[3]: Solving cubic and quartic equations (and some words on quintics), mathsmartinthomas.wordpress.com.
[4]: Galois Theory for Beginners. A Historical Perspective, Jörg BewersdorfF, American Mathematical Society.
[5]: From Newton’s method to Newton’s fractal (which Newton knew nothing about), 3Blue1Brown, YouTube.
Para este proyecto se usó el software de Python3 utilizando la interfase de Spyder 4.0.5 a partir del launcher de Anaconda.
También se utilizó ChatGPT para creación del código.
Edición por: Pablo Villaseñor Inda