Proporcionalidad

Proporcionalidad directa y proporcionalidad inversa

Las magnitudes proporcionales pueden ser directamente proporcionales o inversamente proporcionales.

¿Cuándo son directamente proporcionales? Cuando al aumentar una de las magnitudes aumenta proporcionalmente la otra. Es decir, si al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra también se multiplica o divide por ese mismo número.

Sin embargo, son inversamente proporcionales cuando al aumentar una de las magnitudes disminuye proporcionalmente la otra. Es decir, si al multiplicar una de ellas por un número la otra queda dividida por ese mismo número, o viceversa: si al dividir una de ellas entre un número la otra queda multiplicada por este número.

** Ejemplo de problemas:

Al llegar al hotel nos han dado un mapa con los lugares de interés de la ciudad, y nos dijeron que 5 centímetros del mapa representaban 600 metros de la realidad. Hoy queremos ir a un parque que se encuentra a 8 centímetros del hotel en el mapa. ¿A qué distancia del hotel se encuentra este parque?

Para resolver este problema, debemos pensar en primer lugar si cumple una proporcionalidad directa o inversa. Para ello, pensamos… Si en lugar de 5 centímetros hablásemos del doble de centímetros en el mapa (10 centímetros), ¿en la realidad serían más metros o menos metros?

Serían más metros: justo el doble de metros en la realidad.

Si al duplicar una magnitud (centímetros) también se duplica la otra (metros) estamos hablando de una proporcionalidad directa

Por lo tanto, vamos a resolver el problema:

• Como 5 centímetros representan 600 metros, 1 centímetro representará… 600 : 5 = 120 metros
• Como 1 centímetro representa 120 metros, 8 centímetros representarán… 120 x 8 = 960 metros

Solución: El parque se encuentra a 960 metros del hotel

Ayer 2 camiones transportaron una mercancía desde el puerto hasta el almacén. Hoy 3 camiones, iguales a los de ayer, tendrán que hacer 6 viajes para transportar la misma cantidad de mercancía del almacén al centro comercial. ¿Cuántos viajes tuvieron que hacer ayer los camiones?

Nos preguntamos si cumple una proporcionalidad directa o inversa. Para ello, pensamos…

Si en lugar de 3 camiones hablásemos del doble de camiones (6 camiones), ¿tendrían que hacer más o menos viajes? Cuantos más camiones carguen mercancía, en menos viajes se cargará toda: necesitarían justo la mitad de viajes

Si al duplicar una magnitud (camiones) se divide entre dos la otra (viajes necesarios) estamos hablando de una proporcionalidad inversa

Por lo tanto, vamos a resolver el problema:

• Como 3 camiones necesitan hacer 6 viajes, 1 solo camión necesitaría hacer… 3 x 6 = 18 viajes
• Como 1 solo camión necesitaría hacer 18 viajes, los 2 camiones tuvieron que hacer… 18 : 2 = 9 viajes

Solución: Ayer los 2 camiones hicieron 9 viajes cada uno

Los porcentajes

En nuestra vida cotidiana podemos encontrar varios ejemplos de datos entregados en porcentajes, por ejemplo: “el 40% de la población votó por tal candidato, o “hay un 30% de rebaja en moda de invierno”, ahora la pregunta es: ¿cómo podemos calcular esos porcentajes?

Cuando hablamos de porcentajes estamos aludiendo a la frase “por ciento”, es decir, si hablamos de 40% de algo, queremos decir, que de cada 100, consideramos 40.

FRACCIONES

Aunque nos parezcan más difíciles, en realidad los problemas con fracciones son iguales que los de números enteros. Lo único que debemos hacer es:

1. Leer atentamente el enunciado
2. Pensar en lo que nos piden
3. Pensar en los datos que necesitamos
4. Resolverlo
5. Simplificar, si es necesario
6. Pensar si nuestro resultado tiene sentido (para comprobarlo)

** Para hacer una suma de fracciones lo importante es que las fracciones tengan el mismo denominador.

Suma de fracciones con el mismo denominador

Para sumar fracciones con el mismo denominador se tienen que suman los numeradores dejando el mismo denominador.

Por ejemplo, 3/4 + 2/4

Como las 2 fracciones tienen el mismo denominador, lo que tenemos que hacer es dejar el mismo denominador, que es 4, y sumar los numeradores: 3 + 2 = 5

Y el resultado de la suma de fracciones es: 3/4 + 2/4 = 5/4

Suma de fracciones con distinto denominador

Para hacer suma de fracciones con distinto denominador, lo primero que hay que hacer es poner un denominador común: esto es el mínimo común múltiplo entre los denominadores que haya. Después multiplicamos cada numerador por el número que hayamos multiplicado al denominador. Por último, sumamos los numeradores que hayamos obtenido y dejamos el mismo denominador.

Por ejemplo, 2/3+ 4/5

Lo primero es haya un denominador común entre el 3 y el 5. Para eso, hayamos el mínimo común múltiplo entre ambos.

m.c.m. (3,5) = 15 Por lo tanto 15 es el denominador común de las dos fracciones.

2/3 + 4/5 = ?/15 + ?/15

Ahora tenemos que multiplicar cada numerador por el número que hayamos multiplicado el denominador. Para ello, dividimos el m.c.m entre el denominador inicial y el resultado lo multiplicamos por el numerador de esa fracción:

Para la primera fracción:

15 : 3 = 5

5 x 2 = 10

Por lo tanto, 10 es el numerador de la primera fracción.

Para la segunda fracción:

15 : 5 = 3

3 x 4 =12

Por lo tanto, 12 es el numerador de la segunda fracción.

2/3 + 4/5 = 10/15 + 12/15

Ahora ya solo nos queda sumar los numeradores:

10 + 12 = 22

Y el resultado de la suma de fracciones es: 22/15

«¿Para que nos servirán las raíces cuadradas en el futuro?», «¿por qué dividimos en la libreta si hay calculadoras?» o, incluso, «¿para qué calcular con números negativos si nunca los voy a utilizar en mi trabajo?»

LAS MATEMÁTICAS NOS PUEDEN AYUDAR A ENTENDER EL MUNDO QUE NOS RODEA

Para hacer la compra

Las mates te rodean desde el momento en que cruzas las puertas automáticas de tu supermercado favorito.

Efectivamente, las puertas y el detector de metales que cruzas a la entrada de la tienda están compuestos por sistemas electrónicos que no podrían haber sido diseñados sin las matemáticas.

Después, empiezas a hacer la compra y tu carrito se llena de productos que tienen etiquetas (con el famoso código de barras que indica, gracias a sus cifras, el fabricante del producto y su código específico); a continuación te diriges a la caja, en donde cada etiqueta se escanea con láser para que el precio final aparezca en la pantalla.

Por último, realizas el pago con tarjeta de crédito o en efectivo.

Todas estas etapas, todas estas operaciones, han utilizado numerosas nociones de matemáticas.

Durante tu compra podrás observar que tu supermercado te propone ofertas o promociones con un 30% de descuento o con descuentos mayores por la compra de dos artículos.

Gracias a las matemáticas entiendes que el 10% de descuento sobre un producto y después un 20% sobre el mismo producto no genera una reducción total del 30%.

El interés de conocer algunas técnicas para calcular mentalmente y el haber estudiado los porcentajes en mates encuentran aquí toda su utilidad.

Para cocinar

El uso de las mates cuando cocinamos es casi obligatorio. Bastante a menudo, cuando cocinamos aplicamos la famosa regla de 3.

Además, incluso tienes que conocer las reglas de base de conversión en lo que respecta al peso (gramos en kilos y al revés), la temperatura (Celsius y Fahrenheit si buscas tus recetas en páginas webs americanas) o simplemente para añadir o dividir los alimentos (ejemplo: mezcla 2/3 de 500 gramos de harina, añade 2 huevos, leche y, después, los tercios restantes).

Para hacer bricolaje

Ya sean pequeñas o grandes chapucillas, las mates serán tus mejores aliadas a la hora de ponerse con el bricolaje.

Tanto para mezclar diferentes productos como para calcular ángulos o colocar una lámpara, conocer la regla de 3, saber cómo se calcula un ángulo (coseno, seno, recto), saber determinar la hipotenusa de un triángulo, o prever el número de láminas para montar un estantería pueden ser capacidades muy útiles.

Todos estos ejemplos se han convertido en algo natural y ya ni nos damos cuenta de que estamos utilizando las mates; sin embargo, sólo gracias a ellas puedes realizar todas estas operaciones y transformar el interior de tu hogar.

Para tus viajes

Por supuesto, actualmente existe el GPS integrado en nuestros coches o en nuestros smartphones. Pues bien, en estos sistemas están presentes las matemáticas.

No obstante, antes de toda esta tecnología existía la brújula, el transportador, el sextante, el astrolabio, etc.: gracias al método de la triangulación se puede determinar a qué distancia nos situamos en cuanto a un punto fijo o qué dirección podemos tomar.

La triangulación (hoy en día perfeccionada con satélites), con sus cálculos de ángulos y de distancias, se utiliza mucho en cartografía y en navegación… ¡pregunta a quienes dan la vuelta al mundo en velero cómo harían si no supieran situar un punto sobre un mapa!

Para ganar a todo el mundo en los juegos de azar

Si ya tienes conocimientos en probabilidad, puedes calcular la ganancia esperada.

Actividades:

1. ¿Cuál es la diferencia entre el cálculo del m.c.m. y del M.C.D.? Razona tu respuesta observando los pasos del cálculo de ambos.
2. Un viajero va a Sevilla cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado los dos en la ciudad Andaluza. ¿Dentro de cuántos días volverán a coincidir? ¿Qué paisaje del relieve español verán?
3. Las instrucciones de mantenimiento de un coche recomiendan que se cambie el aceite del motor cada 7.500 km, el filtro del aire cada 15.000 km y el bujías a los 20.000 km. ¿Cada cuántos kilómetros coinciden todos los cambios?

Cálculo mental:

1. Tu familia te encarga la tarea de ir al supermercado para comprar fruta y verdura. Después de pasar por la caja te dicen que la cantidad que de bes pagar asciende a 7,85 euros. Tu familia te ha dado un billete de 20 euros. Tras pagar, recibes la vuelta y te paras para comprobar si es correcta. ¿Qué cantidad exacta tienen que devolverte?

Múltiplos de un número natural.

Los múltiplos de un número son los que se obtienen al multiplicar dicho número por todos los números naturales salvo el 0. Puesto que hay infinitos números naturales, un número tiene infinitos múltiplos.

Para saber si un número es múltiplo de otro, simplemente debes hacer la división y comprobar que el cociente es un número natural y el resto de la división es cero.

Ejemplo: los múltiplos del número 3 son 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21....

MÚLTIPLOS COMUNES A VARIOS NÚMEROS

Calculados los conjuntos de los múltiplos de dos o más números siempre podemos encontrar múltiplos comunes.

• M (3) ={0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60 ...}
• M (4) ={0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, ....}
• M (8) ={0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88 .....}

Múltiplos comunes de 3 y 4 ={0,12, 24, 36, 48, 60 ...}

Múltiplos comunes de 3 , 4 y 8 ={0, 24, 48.....}

Mínimo común múltiplo de varios números (m.c.m.). Se llama así al menor de los múltiplos comunes de dichos números excluido el cero.

m.c.m.(3, 4) = 12

m.c.m.(2, 4, 8)= 24

SUMAR NÚMEROS ENTEROS DEL MISMO SIGNO

Para sumar números enteros que tengan el mismo signo:

1. “Nos olvidamos de los signos”
2. Sumamos los números.
3. Al resultado obtenido, le ponemos el signo que tenían al principio.

Ejemplo: (+ 2) + (+6) = + 8 ….….. 2 + 6 = 8 ………… +8

(– 7) + (– 3) = – 10 ……… 7 + 3 = 10 ………… – 10

“TEN EN CUENTA”:

* La suma de dos números enteros positivos, dará otro nº entero positivo.

* La suma de dos números enteros negativos, dará otro nº entero negativo.

SUMAR NÚMEROS ENTEROS DE DIFERENTE SIGNO

Para sumar dos números enteros de distintos signos:

Ej: (+4) + (–9) = – 5

Sigue los siguientes pasos:

1º) “Nos olvidamos” del signo de cada número

(+4) = 4 / (–9) = 9

2º) Al número más grande le resto el más pequeño.

9 – 4 = 5

3º) Al resultado obtenido, le ponemos el signo de aquel número que estaba más lejos de cero. (como – 9 está más lejos de cero que + 4; al resultado final se le pone el signo –)

“TEN EN CUENTA” :

El orden de los sumandos no importa siempre y cuando cada número mantenga su signo.

Ej: (+4) + (–9) = (–9) + (+4)