Estimación por intervalos

La estimación por intervalos consiste en establecer el intervalo de valores donde es más probable se encuentre el parámetro. 

La obtención del intervalo se basa en las siguientes consideraciones:

a) Si conocemos la distribución muestral del estimador podemos obtener las probabilidades de ocurrencia de los estadísticos muestrales.

b) Si conociéramos el valor del parámetro poblacional, podríamos establecer la probabilidad de que el estimador se halle dentro de los intervalos de la distribución muestral.

c) El problema es que el parámetro poblacional es desconocido, y por ello el intervalo se establece alrededor del estimador. Si repetimos el muestreo un gran número de veces y definimos un intervalo alrededor de cada valor del estadístico muestral, el parámetro se sitúa dentro de cada intervalo en un porcentaje conocido de ocasiones. 

Este intervalo es denominado "intervalo de confianza".

La estimación por intervalo es una regla que indica como calcular dos números con base en los datos muestrales, estos dos números tienen asociada una probabilidad llamada nivel de confianza y la expresamos como (1 – α), la cual mide que el verdadero parámetro poblacional se encuentre dentro del intervalo. 

Nota: La estimación puntual no permite medir la confiabilidad de los resultados.

Para construir el intervalo de confianza para la media poblacional se tendrán en cuenta tres situaciones diferentes: 

1. Cuando la población es normal y la varianza de la población es conocida.

2. Cuando la población es normal y la varianza de la población es desconocida

3. Cuando la población no es normal 

La distribución muestral de X , es normal con media µ y varianza conocida  σ^2 , entonces se establece un intervalo de confianza (1 – α) de la siguiente manera: 

Si la población es conocida, el intervalo se define como: 

Si la población es desconocida, el intervalo se define como 

Ejemplo:

Se recibe un cargamento muy grande de bultos de arroz provenientes de una importación y se desea estimar el peso promedio (µ) de dichos bultos, para esto se toma una muestra aleatoria de 100 bultos, que arrojan un peso promedio de X =21.6 kilos. 

Se sabe por experiencias anteriores, que la desviación estándar de dichos cargamentos es de σ =5.1 kilos. Se quiere un nivel de confianza en la estimación del 95% (1-α) =0.95 

Observemos que no se sabe si el peso de los bultos de arroz se distribuye normalmente, pero como n=100 (muestra grande ya que n>30), entonces, las medias muestrales se comportarán aproximadamente de acuerdo a una distribución normal, según el teorema del límite central. 

Solución 

La variable 

• X: peso de los bultos de arroz 

La información dada es:

• n = 100 

• X =21.6 kilos 

• σ =5.1 kilos 

por lo tanto el tamaño de la población N es desconocida, entonces para reemplazar en el intervalo, solo falta encontrar el valor Z en la tabla normal para un nivel de confianza de 0.95.

Como el nivel de confianza siempre queda en el centro de la distribución entonces: 

1 – 0,95 = 0,05 0,05/2 = 0,025 α/2 = 0,025 

En la tabla normal para un área de 0,025 el valor de Z es ±1,96 

Si reemplazamos en la fórmula tenemos: 

21,6 ± (1,96)5.1/√100 = 21,6 ±0,9996 

El intervalo queda entonces en la forma: 

20,6 ≤ µ ≤ 22,6 

La expresión anterior, significa que con una confianza del 95% se estima que el peso promedio de todo el cargamento fluctúa entre 20,6 y 22,6 kilos. 

Cuando se tiene una muestra aleatoria de tamaño n ≤ 30 (muestra pequeña) cuyas observaciones son tomadas de una distribución normal con varianza desconocida, es posible hallar un intervalo en el cual se encuentra la media poblacional a un nivel de confianza (1 – α) con la varianza muestral S2. Este intervalo se determina así: 

En el anterior intervalo n 1, 2 t − α corresponde al valor de una distribución t-student con n-1 grados de libertad. 

Ejemplo

El sueldo mensual promedio de una muestra de 11 empleados, en el área administrativa de cierta multinacional, es de $1 500 000 y la desviación típica muestral es de 100 000. 

Si las observaciones son tomadas de una distribución normal, determine el intervalo de confianza al 90% para el salario promedio de todos los empleados del área administrativa de la empresa. 

Datos:

X: Salario mensual de los empleados del área administrativa 

• S= 100000 

• n= 11 

Luego calculamos α/2 

100(1-α )%= 90% 

1 –α=0.90 

α=1- 0.90 

α=0.10 

α/2 = 0.05 

Ahora hallamos el factor de confiabilidad, t n- 1,α/2 : es decir t 10 (0,05) = 1,8125 

En la tabla de distribución de t student, se ubica en la parte vertical los grados de libertad de la primera columna y las probabilidades en la primera fila. Donde se encuentra el valor de 1,8125. 

Reemplazando los valores en la fórmula se obtiene: 

Luego podemos concluir con un nivel de confianza del 95% que el salario promedio de la empresa en el área administrativa, está entre $1´445.351,069 y $1 554.648,93 

Cuando se trabaja con un intervalo más estrecho es preferible ya que presenta una precisión adicional. Hay dos métodos para lograr un intervalos más preciso: reducir el nivel de confianza, o incrementar el tamaño de la muestra. 

a. Reducción del nivel de confianza: Hay ocasiones en que se decide aceptar un nivel de confianza menor, lo cual en ocasiones genera un costo involucrado en lograr esta precisión mayor y consiste a incrementar la probabilidad de error. 

b. Incremento del tamaño muestral: Con este se tiende a reducir el error estándar, sin embargo esto acarrea un costo ya que significa más tiempo y más dinero para recolectar y manejar los datos. 

Es posible que cuando realicemos una estimación por intervalo observemos que el tamaño de este es demasiado grande. Por ende si ampliamos el tamaño de la muestra es posible que encontremos intervalos de confianza más pequeños que nos ayuden a establecer conclusiones más precisas y cercanas al valor de los parámetros poblacionales. 

Para esto es necesario elaborar un proceso que nos permita establecer el tamaño más adecuado de la muestra. Dicho tamaño de muestra se obtiene utilizando el margen de error. 

Tamaño de la muestra para estimar la media poblacional con distribución normal y varianza conocida

Dado que el margen de error, que denotaremos e es igual a:

Para determinar el valor de n sólo necesitamos despejarlo: 

Nota: Téngase en cuenta que los datos dados deben ser el margen de error y la varianza poblacional