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Sábado 30 de noviembre
Segundo parcial: ondas planas en el vacío, en medios materiales, en conductores, reflexión y refracción, dispersión y absorción, modelo de Lorentz para la constante dieléctrica, guías de ondas.
Miércoles 27 de noviembre (Última clase: 5 hs en el aula 23)
Radiación de una fuente arbitraria (pero acotada en el espacio). Los campos de radiación dependen de la derivada segunda del momento dipolar eléctrico de las fuentes calculada en el tiempo de retardo. La potencia radiada es proporcional entonces al módulo de dicha derivada segunda. En el caso partícular de una partícula cargada podemos calcular la potencia mediante los campos que se deducen de los potenciales de Liérnard-Wiechert. Si la velocidad de la carga no es relativista, la potencia es proporcional a la aceleración al cuadrado (fórmula de Larmor). Si la velocidad es relativista la potencia radiada es proporcional tanto a la aceleración al cuadrado como al factor gamma a la sexta, depende de la orientación relativa de aceleración y velocidad (fórmula de Lienard-Larmor). Además a velocidades muy altas la partícula emite campos de radiación preferentemente hacia adelante. Fuerza de reacción de la radiación. Obtención mediante el principio de conservación de la energía: la energía radiada por una carga tiene su origen en un cambio de su energía mecánica. Fórmula de Abraham-Lorentz. Inconsistencias para el modelo de carga puntual.
Relatividad y electromagnetismo. Repaso de cuadrivectores, transformación de Lorentz (particularmente, boost en x), "segunda ley de Newton relativista", 3-fuerza o fuerza ordinaria, cuadrifuerza de Minkowski. Ley de transformación de la 3-fuerza entre observadores inerciales. Ejemplos simples que demuestran cómo cambian los campos eléctrico y magnético entre observadores. Ley de transformación general de los campos. Tensor F de campos electromagnéticos . Tensor G dual. Leyes de transformación de F y G. 4-corriente. Ley de continuidad en notación 4-vectorial. Ecuaciones de Maxwell en término de los tensores F y G. 4-potencial. Tensor F en término del 4-potencial.
Lunes 25 de noviembre ( 2 hs)
Radiación. Potencia radiada por una fuente.
Radiación de un dipolo eléctrico puntual (Zangwill desde el inicio trata al dipolo como puntual, Griffiths no lo considera así pero luego hace las aproximaciones I - punto de observación lejano en comparación con el tamaño del dipolo- y II - longitud de onda emitida por el dipolo mucho mayor al tamaño del dipolo- que llevan al modelo del dipolo puntual). Cálculo de los potenciales retardados del dipolo eléctrico. Cálculo de los campos electromagnéticos. Origen de las distintas contribuciones a los campos según la dependencia en la distancia al punto de observación (para E: Coulomb, inducción, radiación; para B: corriente de desplazamiento, radiación). Dipolo eléctrico apuntando siempre en la misma dirección, variando armónicamente su magnitud. Los campos E y B de radiación son perpendicular entre ellos y perpendiculares a la dirección radial (dirección de propagación del campo de radiación), B = E/c, E y B están en fase. Potencia radiada para distintos ángulos polares: no se emite en la dirección del dipolo, máxima emisión en el plano ecuatorial del dipolo). Potencia radiada total, la cual es proporcional a la frecuencia del dipolo a la cuarta. Azul del cielo.
Radiación de un dipolo magnético. Es análoga a la radiación del dipolo eléctrico, aunque si las dimensiones y cargas de ambos dipolos son semejantes, la potencia radiada por el dipolo eléctrico es mucho mayor a la potencia radiada por el dipolo magnético.
Miércoles 20 de noviembre (3 hs)
Potenciales retardados. Deducción a partir del principio de superposición (tomado del Levich), resolviendo al ecuación de ondas inhomogénea para los potenciales debido a un volumen infinitesimal de las densidades de carga y de corriente. Ajuste entre las soluciones en puntos alejados de las fuentes y soluciones sobre las fuentes. Soluciones retardadas y avanzadas. Nos quedamos con las retardadas. Bosquejo de la deducción de los potenciales retardados mediante el método de funciones de Green. Tiempo de retardo: instante de tiempo en el cual un elemento infinitesimal de las fuentes afecta al potencial en un punto de observación en un instante posterior. Campos obtenidos a través de los potenciales retardados: ecuaciones de Jefimenko.
Potenciales retardados debido a una carga puntual en movimiento. Cuidados a tener en cuenta para la integral de la delta de Dirac que aparece en las densidades de carga y de corriente de la carga puntual: cambio de variables en el argumento de la delta, cálculo del jacobiano de transformación, interpretación con trenes del Griffiths. Potenciales de Liénard-Wiechert. Campos electromagnéticos generados por la carga puntual. Campos de velocidad y de aceleración.
Lunes 18 de noviembre
Feriado nacional
Miércoles 13 de noviembre (3 hs)
Ondas planas en interfases dieléctrico-conductor. Incidencia normal e incidencia oblicua. Pseudo-ángulo de Brewster. Ondas en espacios reducidos. Guías de ondas. Ondas electromagnéticas TE (transversal eléctrica) y TM (transversal magnética). Frecuencias de corte.
Lunes 11 de noviembre ( 2 hs)
Medios dispersivos. Velocidad de fase dependiente de la frecuencia de la onda. Permitividad eléctrica: ¿de qué puede depender? Repaso de las aproximaciones de medios lineales, isótropos y homogéneos. Conductores como medios dispersivos. Dieléctricos dispersivos. Modelo de Lorentz. Permitividad eléctrica dependiente de la frecuencia y compleja.
Miércoles 6 de noviembre (5 hs)
Ondas electromagnéticas en interfases. Ley de reflexión y refracción. Ecuaciones de Fresnel. Casos de polarizaciones paralela (p) y perpendicular (s) al plano de incidencia.
Lunes 4 de noviembre ( 2 hs)
Repaso de ondas electromagnéticas en el vacío
Problemas: superposición de ondas EM polarizadas verticalmente con distinta amplitud y fuera de fase. Superposición de dos ondas polarizadas circularmente hacia la izquierda que viajan en la misma dirección con sentidos opuestos, y variante en la que una de las ondas está polarizada circularmente hacia la derecha.
Miércoles 30 de octubre (5 hs)
Polarización del campo electromagnético. Elipse de polarización. Polarización lineal. Polarizaciones circular a derecha y a izquierda. Versores complejos que describen las polarizaciones circulares.
Paquetes de ondas. Energía independiente del tiempo. Velocidad de fase. Velocidad de grupo.
Ondas electromagnéticas en dieléctricos LIH (lineales, isótropos, homogéneos). ¿Qué pasa si no se cumple alguna de esas tres condiciones? Propagación en medios simples. Velocidad de propagación de los campos EM.
Ondas EM en medios conductores. Ecuación de onda "modificada" por la presencia del término de densidad de corriente en la ecuación de Ampera-Maxwell. Número de onda complejo. Interpretación de sus partes real e imaginaria. Longitud de penetración de la onda en el medio conductor. Buenos y malos conductores. Relación entre campo magnético y eléctrico. Desfasaje.
Lunes 28 de octubre (5 hs)
Ondas electromagnéticas en el vacío. Ecuaciones de onda para los campos y los potenciales. Gauge de Lorenz: quedan ecuaciones de onda homogéneas para ambos potenciales.
Ondas planas como propuesta de solución a las ecuaciones de onda. Soluciones de D'Alembert. Relación entre campo magnético y campo eléctrico. E y B perpendiculares entre ellos, y perpendiculares a la dirección de propagación. E y B en fase, B = E/c. Propiedades mecánicas de las ondas electromagnéticas planas: vector de Poynting, densidad volumétrica de momento lineal y momento angular. Ondas monocromáticas. Notación compleja de los campos electromagnéticos. Relación entre frecuencia y número de onda.
Miércoles 23 de octubre (3 hs)
Primer parcial. Faraday, corriente de desplazamiento, campos cuasiestáticos, teorema de Pointyng, conservación de energía, momento lineal y momento angular.
Lunes 21 de octubre
Facultad cerrada
Miércoles 16 de octubre (3 hs)
Argumento de Wigner sobre la conservación local de la carga.
Momento lineal del campo electromagnético expresado en función de las componente solenoidales del potencial vector y del campo eléctrico.
Momento angular de un campo electromagnético estático escrito en función de la densidad de carga y el potencial vector en el gauge de Coulomb.
Resolución de los problemas 11 y 13 de la guía de principios de conservación.
Lunes 14 de octubre ( 2 hs)
Resolución del problema 10 de la práctica: dos placas cargadas que se mueven y luego se acercan.
Potenciales electromagnéticos. Ecuaciones de Maxwell en término de los potenciales. Transformación de gauge de los potenciales. Elección o fijado de gauge. Gauge de Coulomb. Gauge de Lorentz.
Miércoles 9 de octubre (3 hs)
Repaso de principios de conservación del momento lineal y angular en presencia de campos electromagnéticos. Paradoja del disco de Feynman.
Resolución de problemas: Fuerza neta ejercida sobre el hemisferio norte de una esfera con carga uniforme a partir del tensor de Stress de Maxwell. Conservación del momento angular en un sistema de cascarones cilindricos cargados que encierran un solenoide por el que circula una corriente que se apaga.
Planteo de problema: campo eléctrico inducido por un plano cargado con corriente superficial que se mueve en la dirección normal del propio plano.
Lunes 7 de octubre
Feriado en Rosario
Miércoles 2 de octubre
Marcha Universitaria
Lunes 30 de septiembre ( 2 hs)
Principio de conservación del momento angular. Torque sobre las fuentes debido a los campos electromagnéticos. Densidad volumétrica de momento angular electromagnético. Tensor M. Momento angular total: mecánico más electromagnético. Ecuación de continuidad para el momento angular.
Principio de conservación del momento lineal. Fuerza sobre las fuentes debido a los campos electromagnéticos. Expresión en término de los campos E y B. Densidad volumétrica de momento lineal del campo electromagnético. Momento lineal total: mecánico más electromagnético. Tensor de stress de Maxwell. Divergencia de un tensor. Interpretación de las componentes del tensor de Maxwell. Ecuación de continuidad para el momento lineal.
Miércoles 25 de septiembre (3 hs)
Repaso del principio de conservación total de la energía (electromagnética + mecánica/interna). El teorema de Poynting en los regímenes cuasi-electrostático y cuasi-magnetostático. Forma diferencial del teorema de Poynting: "ecuación continuidad de la energía". No unicidad del vector de Poynting.
Ejemplo: balance de energía en un cable resistivo por el que circula una corriente uniforme.
Generalidades sobre el flujo de la energía electromagnética en los circuitos eléctricos.
Resolución de problemas: capacitor de placas paralelas con pérdida que disipa energía almacenada en el campo electromagnético, flujo de energía en un sistema de cilindros coaxiales conductores cargados y con corrientes conectados a una bateria de un lado y conectados por una resistencia del otro.
Lunes 23 de septiembre ( 2 hs)
Principios de conservación. Vector de Poynting. Trabajo que los campos ejercen sobre las cargas del sistema. Uso de identidades vectoriales para expresar este trabajo en término de la energía del campo electromagnético y el flujo del vector de Poynting. Interpretación del vector de Poynting como densidad de corriente de energía.
Efecto Kelvin o pelicular: cuando una corriente dependiente del tiempo circular por un conductor, la densidad de corriente se concentrará en una capa alrededor de la superficie del conductor. Esta capa está caracterizada por una longitud de penetración, que disminuye al aumentar la frecuencia de la corriente eléctrica. La solución de la ecuación de difusión de E se expresa en término de la función de Bessel de primera especie de orden cero. Las propiedades de esta función nos permiten deducir la existencia del efecto pelicular, además de decirnos que la densidad de corriente tiene una configuración tipo capas, donde las direcciones de la densidad en capas contiguas se oponen.
Ecuación de difusión que cumplen los campos E y B en el régimen cuasi-magnetostático.
Repaso de los regímenes cuasi-estáticos:
Cuasi-electrostático: aplica para dieléctricos (o malos conductores) en los cuales se tiene una densidad de carga que varía lentamente. La condición de variación lenta puede expresarse de manera simple en término del tiempo que tarda la luz en atravesar una longitud típica del sistema y el tiempo característico en el cual varía la densidad de carga. Cuando este último es mucho mayor al primero se cumple la condición de variación lenta, la cual asegura que la componente Faraday del campo eléctrico (originada en la variación del campo magnético) es despreciable respecto de la componente de Coulomb (originada por la distribución de cargas). Se aproximan las ecuaciones de Maxwell desechando la derividad parcial del campo B respecto del tiempo en la ley de inducción de Faraday. En un buen metal óhmico una densidad de carga inicial en el volumen se relaja rápidamente y va hacia la superficie del conductor. No tiene sentido entonces el régimen cuasi-electrostático para buenos conductores.
Cuasi-magnetostático: aplica para sistemas en los cuales se tiene una densidad de corriente que varía lentamente. La condición de variación lenta es la misma que en el caso cuasi-electrostático. En este caso, la corriente de desplazamiento puede despreciarse respecto de la corriente física. Si el material es óhmico, entra en juego otra escala de tiempo, la constante de tiempo magnética. Cuando esta constante es mucho menor al tiempo característico de variación de la densidad de corriente, se puede despreciar el efecto de la corriente óhmica sobre la generación de campo magnético, caso contrario las ecuaciones de Maxwell del campo magnético quedan acopladas con el campo eléctrico.
Miércoles 18 de septiembre (3 hs)
Resolución de problemas: cilindro conductor sujeto a un campo magnético uniforme variable en el tiempo.
Regímenes cuasi-estáticos. Teorema de Helmholtz: un campo vectorial se puede descomponer en una componente solenoidal y otra irrotacional. Descomposición del campo eléctrico en una componente de Coulomb y una de Faraday. Órdenes de magnitud de las derivadas temporal y espaciales. Longitud y tiempo característicos. Densidad de carga que varía lentamente en el tiempo. Condición para despreciar la componente Faraday del campo eléctrico. Aproximación cuasi-electrostática: el problema eléctrico es formalmente igual al de la electrostática, el problema magnético se resuelve mediante ley de Biot-Savart "instantánea".
Densidad de corriente eléctrica que varía lentamente en el tiempo. Separación del campo magnético en una componente Ampere, originada por la densidad de corriente física, y una componente de Desplazamiento originada en la corriente de desplazamiento. Condición para desechar la corriente de desplazamiento. Aproximación cuasi-magnetostática: el problema magnético es formalmente igual al caso de la magnetostática. El problema eléctrico se resuelve una vez conocido el campo magnético.
Régimen cuasi-estático en la materia lineal, homogénea e isótropa. Relajación de la carga libre en un conductor óhmico. Constante de tiempo eléctrica. Conflicto entre este tiempo y el tiempo entre colisiones del modelo de Drude en el caso de conductores buenos.
Lunes 16 de septiembre ( 2 hs)
Resolución de problemas: Disco de Faraday, espira circular rotando respecto de un eje con un dipolo magnético en el origen. Corrientes de Foucault: disco conductor rotando que se frena debido al campo magnético de un imán.
Miércoles 11 de septiembre (3 hs)
Ejemplos de inducción electromagnética. Conflicto entre ecuación de continuidad y ley de Ampere para densidades de carga no estáticas. Corriente de desplazamiento. Ley de Ampere-Maxwell. Ejemplos de ley de Ampere-Maxwell: carga que se concentra en un punto, casquetes esféricos cargados entre los que circula densidad de corriente radial.
Lunes 9 de septiembre ( 2 hs)
Derivación de la ley del flujo a partir del teorema del flujo (derivada del flujo de un campo vectorial si cambia el campo y también la superficie respecto de la cual se calcula el flujo). Fem electromagnética. Resolución de los primeros problemas de la primera práctica.
Miércoles 4 de septiembre (3 hs)
Extra: tensores. Escalares frente a rotaciones (por ejemplo, densidad de carga), vectores (por ejemplo, campos eléctrico y magnético, densidad de corriente) y tensores de rango dos (permitividad eléctrica o conductividad en un medio anisotrópico, veremos tensor de stress de Maxwell pronto).
Órdenes de magnitud de la conductividad para metales, semiconductores y aislantes. Extra: teoría de bandas, diferencia entre metales y semiconductores.
Fuerza electromotriz. Fuente/batería. Fuerza por unidad de carga responsable del establecimiento de una corriente estacionaria. Fuente ideal (sin resistencia interna). Relación entre la fuerza electromotriz y la diferencia de potencial eléctrico entre los extremos de la fuente. Fuerza electromotriz igual a menos la variación temporal del flujo magnético que atraviesa el circuito: regla del flujo.
Fuerza electromotriz de movimiento: circuito móvil en una región con campo magnético (constante en el tiempo) no uniforme, fuerza magnética como origen de la fuerza electromotriz. Fuerza necesaria para mantener al circuito moviéndose con velocidad constante. Trabajo de dicha fuerza y su relación con la fuerza electromotriz de movimiento.
Si se mueve el imán en lugar del circuito circula la misma corriente: origen de la fuerza electromotriz. Ley de Faraday: campo eléctrico (de Faraday) inducido por un campo magnético variable en el tiempo.
Lunes 2 de septiembre ( 2 hs)
Presentación de la materia: evaluación (parciales, trabajo práctico, coloquio), condiciones para cursar, bibliografía, contenidos de la materia.
Repaso de las ecuaciones de Maxwell. Ecuaciones en el vacío. Ecuación de continuidad derivada de la conservación (local) de la carga eléctrica. Fuerza de Lorentz. Lagrangiano para las cargas.
Ecuaciones de Maxwell en la materia. Campos D y H. Polarización eléctrica y magnetización. Relaciones constitutivas. Susceptibilidad eléctrica y magnética. Constante dieléctrica. Permeabilidad. Medios lineales, homogéneos, isótropos.
Densidad volumétrica de corriente. Analogía con fluidos.
Ley de Ohm. Modelo de Drude. Tiempo medio entre colisiones. Velocidad de deriva. Conductividad eléctrica.
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