CURSOS

Durante la DCP- San Luis Potosí 2024 se van a impartir  cursos, los cuales serán:

Gourab Ray   (UVictoria, Canadá)

Título:  Random walks, electrical networks, and geometry.

NOTAS DEL CURSO:

 https://drive.google.com/file/d/1XVE2BIWXBchH_M4i-7LsgU0vRwPJgf77/view?usp=sharing

Resumen: A random walk on a graph is a very natural process, where the `walker' moves uniformly at random to the neighbors. The first theorem one learns about this is that in 2d space, this walker will return to the origin but in 3d space there is a chance the walker never returns. This is famously encoded in the fun quote ` A drunk man returns home, but a drunk bird might fly away forever'. 

In this course we ask a different question: `does a drunk man return home in the hyperbolic plane'? Hyperbolic plane is a different geometric world where parallel lines might meet, and straight lines turn into circular arcs. One way to understand this geometry is to draw them in a particular way in the hyperbolic plane using circle packing.

We will see how the theory of electrical networks which you must have learnt about in school (circuits with a battery and wires with conductances, and Ohm's law) can be used to study these problems. The major part of the course will be devoted to this, which in the end will give you a set of powerful tools to study random walks on graphs.

The ultimate goal is to prove at least one direction of the He-Schramm theorem, which states that `Bounded degree graphs can be circle packed in the plane if and only if the random walk is recurrent'.

Bibliografía sugerida.

1.  Nachmias. Planar Maps, Random Walks and Circle Packing. Chapters 2 and 4.  https://arxiv.org/pdf/1812.11224

2.  He and Schramm. Hyperbolic and parabolic packings. https://link.springer.com/article/10.1007/BF02570699

3. Levin and Peres with an appendix by Wilmer. Markov chains and mixing times. Chapter 8. 

https://pages.uoregon.edu/dlevin/MARKOV/markovmixing.pdf

Sandra Palau (IIMAS, UNAM ,CDMX)

Título: Procesos de ramificación.

Resumen: En este curso aprenderemos técnicas clásicas y modernas de los procesos de ramificación. Empezaremos analizando el proceso de Galton- Watson, resultados conocidos como su probabilidad de extinción y comportamiento asintótico. Terminaremos investigando qué pasa si le ponemos ambiente variable o diferentes tipos de individuos.

Última Sesión

https://drive.google.com/file/d/1N6VXiz9G7_EjNszSzb394oqh0vhMFwYX/view?usp=sharing

Raimundo Briceño (UC, Chile)

Título: Una breve introducción a la Teoría de Entropía Dinámica.

Resumen: En los sistemas dinámicos, la entropía es un invariante fundamental, crucial para analizar las transformaciones en espacios topológicos o de medida. Clásicamente, esta teoría se desarrolló para transformaciones individuales y posteriormente se generalizó a acciones de grupos como Zd, el grupo abeliano libre de rango d. 

En este mini-curso, presentaremos una visi´on general de la evoluci´on de la teoría de la entrop´ıa en din´amica desde sus inicios hasta la actualidad. Discutiremos sus aplicaciones en áreas como la teoría ergódica, la dinámica topológica y la física estadística. Además, examinaremos los desafíos de extender esta teoría a acciones de grupos no promediables como Fd, el grupo libre de rango d, y algunas formas de abordarlos.

Jennifer Jones-Baro (Northwestern University)

Título: Sistemas dinámicos simbólicos y su grupo de automorfismos. 

Resumen:

• Día 1: Introducción a la dinámica simbólica y al grupo de automorfismos. 

Durante la primera sesión definiremos los subshifts de tipo finito y daremos algunos resultados clásicos sobre su grupo de automorfismos. Demostraremos que estos grupos contienen subgrupos isomorfos a cualquier grupo finito, el grupo libre de dos generadores y la suma directa numerable de infinitas copias de Z.

• Día 2: El grupo de automorfismos en complejidad baja. 

Durante la segunda sesión, cambiaremos la mira a sistemas simbólicos con complejidad no-super lineal y demostraremos que su grupo de automorfismos es virtualmente isomorfo a Z. 

• Día 3: El grupo de automorfismos estabilizado 

Para finalizar el curso, hablaremos del grupo de automorfismos estabilizado de sistemas dinámicos simbólicos, tanto para el caso de subshifts de tipo finito como para el caso de complejidad baja. También daremos una pequeña introducción a los más recientes avances en esta área.

Sesión 1

https://drive.google.com/file/d/1Q_3NPlDCiID4yizH2en0cd3_1k6IDXlX/view?usp=drive_link

Sesión 2

https://drive.google.com/file/d/1FfoX3tInnpPTEkimtRlG3AC5up7cZh6K/view?usp=sharing

Sesión 3

https://drive.google.com/file/d/11wXWpnGi8fKzfTXtXXUc_8rPs0xFV0ZP/view?usp=sharing