Costa surfaceとトーラスのワイヤロープによる表現
中川功大 2022

Net-like Patterns on the Costa Surface and a Torus
Kodai Nakagawa 2022

本作のモチーフとなっているCosta surfaceは、数学において「極小曲面」と呼ばれる曲面の一つであり、トーラス（ドーナツ形の表面）（に3つピンホールをあけたもの）と同じ構造（トポロジー）を持っています。トーラスと同じトポロジーを持つ曲面の上では、「ドーナツの穴」のようになっているところの周りを何度も周回するように線を引いていくことができます。この性質を利用すると、曲面上にたった2本の曲線を引くだけで網目のような模様を描くことができます。

実際にワイヤロープを用いて制作する際にはワイヤロープが交わるところは全て直交する必要があります。本作では、平面上に定めた直交網目模様を「等角写像」によってCosta surfaceに移すことによってこの問題を解決しました。「等角写像」とは、ある曲面を、別の曲面に、（局所的な）角度を保ったまま移す写像のことを言います。ここでは平面上で直交していた網目模様を、その直交性を保ったままCosta surfaceに移すのに等角写像が役立っています。さらに、同じ網目模様を等角写像でトーラスにも移し、ワイヤロープで制作しました。こちらの等角写像は[Sullivan 2011]を参照しています。

ワイヤロープによって表現された2つの曲面を並べることで、2つのかたちが「トポロジー」という数学の概念によってつながっていることを表しています。—  中川功大

形状を実際の材料で作り上げる行為はその形状を深く理解することにもつながります。本作品は、会場が荒川技研工業のギャラリーであることを参照し、ワイヤロープと固定金具による製作を試みています。金具の制約によりワイヤーが直交することが要求されることから、等角写像によるCosta surfaceの表現を参照しています。さらに、その等角写像のパラメータ空間がトーラスと同相であることから、2本の曲線のみで表現できることが分かりました。このように幾何的なつながりをたどって本作品の表現が生まれています。— 舘知宏

The Costa surface is one of minimal surfaces and it has the same topology as a torus (with three pinholes punctured). Thanks to the topology of the Costa surface, a net-like pattern can be drawn with just two curves on it. In producing the net-like pattern using wire rope, pieces of wire rope need to cross orthogonally at every intersecting point. 

Conformal mapping is applied to solve this problem. Conformal mapping is a mapping that preserves angles locally. In this case, Conformal mapping help preserve the right angle between two pieces of wire rope. Moreover, a net-like pattern can be drawn on a torus in the same way as on the Costa surface, and this pattern is also produced using stainless wire rope. The mapping shown in [Sullivan 2011] was applied to produce this model.

Two models juxtaposed implies that the two surfaces --- the Costa surface and a torus --- are connected with each other by the idea of topology. — Kodai Nakagawa

Building up a form with actual materials also leads to a deeper understanding of that form. Referring to the venue, Arakawa Grip gallery, the artist attempted to create the work using wire rope and fixtures. The restrictions of the fixtures required the wires to be orthogonal, so we referred to the expression of the Costa surface using conformal mapping. Furthermore, since the parameter space of the conformal map is isomorphic to a torus, we found that it can be represented by using only two curves. Thus, this work's expression was created by following the geometrical connection. — Tomohiro Tachi

Sullivan, John M. "Conformal tiling on a torus." Proceedings of Bridges 2011: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture. 2011. pp.593-596.