一定負曲率曲面のカレイドタイリング
Kaleido-tiling of Surfaces of Constant Negative Curvature

三角形の鏡映タイリングに基づく一定負曲率曲面
割鞘奏太、舘知宏 2022
Surfaces of Constant Negative Curvature Based on Mirror Tiling by Triangles
Kanata Warisaya, Tomohiro Tachi 2022

三角形の中には、辺に関して鏡映反転していくと球面（一定正曲率曲面）を覆うものがあり、その例として「シュワルツの三角形」が挙げられます。同様に、鏡映タイリングにより一定負曲率曲面を覆う三角形も存在しますが、十分な探索は行われていません。本作では、そのような三角形の一つを計算によって求め、組み立てて遊べるピースとしてデザインしました。

ピースの形状は、元の三角形からなる二面体を、片面の頂点と外心を結ぶ線分で切って展開した平行六辺形に基づいています。三角形を1ピースとせず、折線の機能とジョイントの機能を分離することで、山にも谷にも自由に折れ、かつ組み立ても容易なシステムを実現しています。二等辺三角形の底角が6個、頂角が8個集まるようにピースをつなげると、ひらひらとした一定負曲率曲面を作ることができます。ピースのつなげ方次第で、他にも色々なかたちが作れます。– 割鞘奏太

同じ形状の面を封筒状につなぎ合わせた「2面体」をもとにすると、平面タイリングする図形が作ることができます[Akiyama and Matsunaga 2015]。これを、球面に応用するとウィルスの外殻のようなタイリング構造になります。本作品では、このアイディアが負曲率曲面に適用されています。– 舘知宏

Some triangles, such as the "Schwarz triangles", cover spherical surfaces (surfaces of constant positive curvature) by reflecting themselves about their edges. Similarly, some triangles cover surfaces of constant negative curvature by reflection, but they have not been fully explored. In this work, we compute one such triangle and designed a piece to be assembled and played with.

The shape of the piece is based on a hexagon with parallel opposite edges, which is a dihedron consisting of the original triangles developed by cutting along the lines connecting the vertices and the circumcenter. By separating the functions of the fold lines and the joints, the pieces can be fully folded in both mountain and valley folds, and are also easy to assemble. When the pieces are connected so that the 6 bottom angles and the 8 top angles of the isosceles triangle are converged together, ruffled surfaces with a constant negative curvature can be created. Depending on how you connect the pieces, you can also create various other forms. – Kanata Warisaya

Based on a dihedron, which consists of two faces of the same shape forming an envelope-like shape, a plane-tiling figure can be created [Akiyama and Matsunaga 2015]. When this idea is applied to a spherical surface, a structure similar to the tiling of the capsid of a virus can be created. In this work, the tiling idea is applied to a negative curvature surface. – Tomohiro Tachi

三角形二面体の展開に基づくピース（大）
割鞘奏太、舘知宏 2022
Pieces Based on the Development of a Triangular Dihedron (Large)
Kanata Warisaya, Tomohiro Tachi 2022

プチロイドを使用して大サイズのピースを制作しました。組み立てて遊んでみてください。
制作協力：川上産業株式会社

Large-size pieces were produced using "Putiroid". Please assemble them. 
Collaborator: Kawakami Sangyo Co.,Ltd. 

三角形の鏡映タイリングに基づくオーゼティック機構
割鞘奏太、舘知宏 2022
Auxetic Mechanisms Based on Mirror Tiling by Triangles
Kanata Warisaya, Tomohiro Tachi 2022

任意の三角形は自身に内接しながら相似に回転・スケールすることができます。この回転・スケールには中心があり、三角形の「ブロカール点」と一致します。ブロカール点は△ABCに対し∠PAB=∠PBC=∠PCA, ∠P'AC=∠P'CB=∠P'BAを満たす点P, P'であり、それらが回転の左回り・右回りに対応しています。

この性質を活かし、三角形を辺に関して鏡映反転させながら敷き詰め、隣り合う三角形を逆向きに回転・スケールすると、三角形どうしが角でつながったまま万華鏡のように動きます。この動きを、剛体の三角形どうしがヒンジでつながった機構によって再現することができます。本作は上のピースで作った三角形の鏡映による一定負曲率曲面を機構に転換したもので、XYZ方向に同時に展開するポアソン比が負（オーゼティック）の動きをします。– 割鞘奏太

Any triangle can be rotated and scaled to be similar while inscribed in itself. This rotation and scale have a centroid, which coincides with the triangle's "Brocard point". The Brochard points are the points P and P' that satisfy ∠PAB=∠PBC=∠PCA, ∠P'AC=∠P'CB=∠P'BA for △ABC, which correspond to the counterclockwise and clockwise rotation of the triangle.

Taking advantage of this property, when triangles are tiled by reflection about their edges and adjacent triangles are rotated in opposite directions and scaled, the triangles transform like a kaleidoscope while remaining connected at their corners. This motion can be recreated by a mechanism in which rigid triangles are hinged at their corners. This work converts a surface of constant negative curvature created by the pieces above into a mechanism, which has a negative Poisson's ratio (auxetic) motion that deploys simultaneously in the XYZ directions. – Kanata Warisaya