紙を曲がった折り線に沿って折ると、折り目の両側になめらかな美しい曲面が生まれます。このような折紙を「曲線折り」とよびます。

折り目をはさんで両側の面の曲がり具合は必ず片方が凹で片方が凸です。折り目の山谷、折り目の曲線の凹凸によって、曲面の凹凸がどう変わるでしょうか？

また、この曲面は定規を当てるとぴったりとフィットする直線の要素（線織／ルーリング）が現れます。どこにルーリングが現れるか、ルーリングと形の関係を観察してみましょう。

紙のように平面を伸び縮みさせずに曲げた曲面は、微分幾何学の定理から単曲面に限られることが知られています。単曲面は、一方向に曲がってもその直交方向には真っすぐな直線となる曲面で、直線のみで構成された曲面の一種です。そのためルーリングが現れるのです。

When paper is folded along a curved crease, smooth and beautiful curved surfaces are created on both sides. This type of origami is called curved folding.

The curvature of the surfaces on either side of the crease is always such that one side is concave and the other side is convex. How does the concavity and convexity of the curved surfaces change depending on the mountain and valley folds, and the concavity and convexity of the curved crease?

These curved surfaces possess straight line elements called rulings, which can be revealed by running a ruler across the surface. Let's observe where the rulings appear and the relationship between the rulings and the shape.

It is known from a theorem in differential geometry that curved surfaces formed by bending a plane without stretching or shrinking it are limited to single-curved surfaces. A single-curved surface is a surface that is curved in one direction but is straight in the orthogonal direction, and it is a type of curved surface drawn by a family of straight lines. That is why rulings appear on the curved cresae origami.

曲線折紙のルーリングを段ボールの方向に合わせたものです。ルーリングが変化しないRigid-ruling Foldingという独特の動きを生みます。

スナップ曲線折り紙 / Kevin Liu

Icosahedral Shape with Conic Spirals and Joints / Klara Mundilova

同一の折り線と異なる線織をもつ曲線折り紙 / 河井友宏

曲線折紙の柱 / Munkyun Lee、Mahmoud Abu-Saleem、Tomohiro Tachi、Joe Gattas

Snapping curved origami / Kevin Liu

Icosahedral Shape with Conic Spirals and Joints / Klara Mundilova

Same creases, Different rulings / Tomohiro Kawai

Curved-Crease Origami Column Block / Munkyun Lee、Mahmoud Abu-Saleem、Tomohiro Tachi、Joe Gattas