4.1. La inductancia y la capacitancia: Combinación de estos elementos.

INTRODUCCIÓN 

El elemento pasivo de dos terminales que hemos visto hasta el momento, esto es la Resistencia, presenta un comportamiento lineal entre su voltaje y corriente. Esto produce ecuaciones algebraicas igualmente lineales. Ahora vamos a estudiar dos elementos para los cuales las relaciones lineales no se dan entre voltaje y corriente sino entre una de estas variables y la derivada de la otra. Esto va a producir ecuaciones diferenciales que serán igualmente lineales. Estos elementos son la capacitancia y la inductancia. Aunque capacitancia e inductancia son elementos pasivos tienen la propiedad de almacenar energía, y por tanto se dice que pueden tener condiciones iniciales para las variables de voltaje y corriente, esto en función de la energía que tengan almacenada. La capacitancia almacena la energía en un campo eléctrico mientras que la inductancia almacena la energía en un campo magnético. 

CAPACITANCIA 

La capacitancia es un elemento pasivo de dos terminales que almacena cargas eléctricas entre un par de placas separadas por un dieléctrico creando una diferencia de potencial entre las dos placas. Esa diferencia de potencial creada por la acumulación de las cargas tiene una relación directa con la energía almacenada por la capacitancia. 

La Figura 1-1 muestra el símbolo utilizado para representar este elemento y la relación entre voltaje y corriente de acuerdo a la convención pasiva. 

Experimentalmente se encontró que la corriente instantánea en la capacitancia es directamente proporcional a la variación del voltaje en el tiempo. La constante de proporcionalidad de esta relación se conoce como la Capacitancia C, y tiene unidades de Faradios F: 

La ecuación anterior nos muestra una relación lineal entre la corriente y la derivada del voltaje, tal como mencionamos en la introducción. El valor de la Capacitancia C de cada elemento depende de varios factores, ya que existen distintos tipos de capacitancias, en formas (cuadradas, redondas, cilíndricas) y materiales dieléctricos (aire, poliéster, cerámica, electrolítico, papel). En general los valores de las capacitancias son muy pequeños, como se muestra en la Tabla 7-1. 

En el caso sencillo de una capacitancia de placas paralelas la capacitancia C está dada por la permitividad del dieléctrico ε, el área de las placas A y la distancia entre las placas d: 

De la relación entre voltaje y corriente podemos ver que al integrar en ambos lados obtenemos la carga almacenada en la capacitancia en cualquier instante de tiempo: 

Así mismo podemos calcular el voltaje a partir de la corriente que circula por la capacitancia: 

Esta ecuación se puede partir en dos integrales: una entre menos infinito y un tiempo to y otra entre to y t. La primera integral representa entonces el voltaje inicial en to (asociado a la carga inicial y a la energía almacenada en la capacitancia en to), para lo cual se asume que en menos infinito la carga y el voltaje valen cero pues la capacitancia aún no existía: 

INDUCTANCIA 

La Inductancia es un elemento pasivo de dos terminales que almacena energía en un campo magnético. De acuerdo a la ley de Faraday la variación de corriente en el tiempo en un conductor induce una caída de voltaje en el mismo. De acuerdo a las ecuaciones de Maxwell una variación de la corriente en el conductor produce un campo magnético variable, que a su vez produce un campo eléctrico variable y por tanto se genera una caída de voltaje variable en el tiempo. Una inductancia es un elemento especialmente diseñado para tener un efecto inductivo muy grande. Esto se logra enrollando el conductor alrededor de un núcleo. Su aplicación es muy variada: filtros, generadores, motores, transformadores, antenas, etc. La Figura 7-10 muestra el símbolo utilizado para representar este elemento y la relación entre voltaje y corriente de acuerdo a la convención pasiva. 

Experimentalmente se encontró que el voltaje instantáneo en la inductancia es directamente proporcional a la variación de la corriente en el tiempo. La constante de proporcionalidad de esta relación se conoce como la inductancia L, y tiene unidades de Henrios H: 

La ecuación anterior nos muestra una relación lineal entre el voltaje y la derivada de la corriente, tal como mencionamos en la introducción. El valor de la inductancia L de cada elemento depende de varios factores, ya que existen distintos tipos de inductancias, en formas (solenoides, tiroides, etc.) y materiales para el núcleo (aire, ferromagnético etc.). En el caso sencillo de una inductancia en forma de solenoide la inductancia L está dada por la permeabilidad de núcleo μ, el número de vueltas N, el área transversal de cada vuelta A y la longitud l: 

Así mismo podemos calcular la corriente a partir del voltaje a través de la inductancia: 

Esta ecuación se puede partir en dos integrales: una entre menos infinito y un tiempo to y otra entre to y t. La primera integral representa entonces la corriente inicial en to (asociado a la energía almacenada en la inductancia en to), para lo cual se asume que en menos infinito la corriente vale cero pues la inductancia aún no existía: