ΓΕΝΙΚΑ: (υποχρεωτικό στο 3ο έτος σπουδών)

Το μάθημα αυτό αποτελεί συνέχεια του μαθήματος Άλγεβρα Ι.

Στο πρώτο μέρος του μαθήματος, συνεχίζοντας στη Θεωρία Δακτυλίων θα μελετήσουμε σε βάθος τους Δακτύλιους Πολυωνύμων και τη Θεωρία Σωμάτων. Θα μελετηθούν τα σώματα διάσπασης/ριζών και θα δούμε τις επεκτάσεις σωμάτων. 

Στο δεύτερο μέρος του μαθήματος, θα μελετηθούν οι Περιοχές Κύριων Ιδεωδών και Περιοχές Μονοσήμαντης Ανάλυσης, και θα δούμε τη σύνδεση αυτών. Θα ορίσουμε τους Δακτύλιους Noether στους οποίους θα κάνουμε εφαρμογή της θεωρίας που έχουμε αναπτύξει.

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ:

Οι διαλέξεις θα πραγματοποιούνται κάθε Τρίτη (ώρα: 14:00-16:00) και Τετάρτη (ώρα: 09:00-12:00), σύμφωνα με το ωρολόγιο πρόγραμμα σπουδών του τμήματος. Το περιεχόμενο αυτών αναλυτικά (θα ανανεώνεται μετά από κάθε διάλεξη):

ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ-ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ:

• Τρίτη 30 Σεπτεμβρίου: Επανάληψη σε βασικές έννοιες της Θεωρίας Δακτυλίων.

• Τετάρτη 01 Οκτωβρίου: Επανάληψη στα Ιδεώδη. Πρώτα και Μέγιστα Ιδεώδη.

• Τρίτη 07 Οκτωβρίου: Ομομορφισμοί δακτυλίων. Εισαγωγή στους δακτυλίους πολυωνύμων.

• Τετάρτη 08 Οκτωβρίου: Εισαγωγή στα ανάγωγα πολυώνυμα. ΜΚΔ και ΕΚΠ πολυωνύμων.

• Τρίτη 14 Οκτωβρίου: Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας. Εφαρμογές.

• Τετάρτη 15 Οκτωβρίου: Ισομορφισμοί Δακτυλίων Πηλίκο. Εφαρμογές.

• Τρίτη 21 Οκτωβρίου: Ισομορφισμοί Δακτυλίων Πηλίκο. Εφαρμογές.

• Τετάρτη 22 Οκτωβρίου: Κριτήρια αναγώγων πολυωνύμων (Μέρος Α).

• Τρίτη 28 Οκτωβρίου: Αργία.

• Τετάρτη 29 Οκτωβρίου: Κριτήρια αναγώγων πολυωνύμων (Μέρος Β). Εφαρμογές.

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ:

• Τρίτη 04 Νοεμβρίου: Θεώρημα Αντιστοιχίας (Ιδεώδη δακτυλίων πηλίκο). Μία εισαγωγή στους Δακτύλιους Noether.

• Τετάρτη 05 Νοεμβρίου: Δακτύλιοι Noether-Artin. Θεώρημα Βάσης Hilbert. Εφαρμογές.

• Τρίτη 11 Νοεμβρίου: Αργία.

• Τετάρτη 12 Νοεμβρίου: Εφαρμογές - ιδιότητες δακτυλίων Noether.

• Τρίτη 18 Νοεμβρίου: Ομομορφισμός εκτίμησης. Θεώρημα Kronecker.

• Τετάρτη 19 Νοεμβρίου: Επεκτάσεις σωμάτων. Αλγεβρικές/υπερβατικές επεκτάσεις. 

• Τρίτη 25 Νοεμβρίου: Βάσεις - διάσταση επεκτάσεων σωμάτων (διανυσματικών χώρων πηλίκο).

• Τετάρτη 26 Νοεμβρίου: Απλές επεκτάσεις (Μέρος Α). Ασκήσεις.

ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ

• Τρίτη 02 Δεκεμβρίου: Απλές επεκτάσεις (Μέρος Β). Ασκήσεις.

• Τετάρτη 03 Δεκεμβρίου: Παραδείγματα - Εφαρμογές. Σώματα διάσπασης.

• Τρίτη 09 Δεκεμβρίου: Σώματα διάσπασης. Εφαρμογές (Θεωρήματα Moore, Galois).

• Τετάρτη 10 Δεκεμβρίου: Ανάγωγα και πρώτα στοιχεία. Εισαγωγή στις Περιοχές Κύριων Ιδεωδών και Περιοχές Μονοσήμαντης Ανάλυσης.

• Τρίτη 16 Δεκεμβρίου: Περιοχές Κύριων Ιδεωδών και Περιοχές Μονοσήμαντης Ανάλυσης. Ιδιότητες.

• Τετάρτη 17 Δεκεμβρίου: Εφαρμογές και παραδείγματα.

ΦΥΛΛΑΔΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ:

Προτεινόμενες ασκήσεις προς λύση (αναρτημένα στο eclass του μαθήματος):

• Φυλλάδιο ασκήσεων 1 (Δακτύλιοι, Σώματα, Ιδεώδη)

• Φυλλάδιο ασκήσεων 2 (Ισομορφισμοί, Πρώτα-Μέγιστα Ιδεώδη)

• Φυλλάδιο ασκήσεων 3 (Δακτύλιοι Noether)

• Φυλλάδιο ασκήσεων 4 (Ανάγωγα πολυώνυμα)

• Φυλλάδιο ασκήσεων 5 (Επεκτάσεις σωμάτων)

• Φυλλάδιο ασκήσεων 6 (Περιοχές Κύριων Ιδεωδών και Περιοχές Μονοσήμαντης Ανάλυσης)

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ:

• Μάρτιος 2025

• Σεπτέμβριος 2025

ΩΡΕΣ ΓΡΑΦΕΙΟΥ:

• Δευτέρα (19.00-21.00)

• Τρίτη (11.00-12.00) (16.00-21.00)

• Τετάρτη (12.00-13.00)

• Πέμπτη (07.30-10.00)

Συστήνεται η επικοινωνία με email πριν από οποιαδήποτε συνάντηση.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ:

Για την ύλη θα ακολουθήσουμε τα βιβλία: 

• Ν. Μαρμαρίδης, Βασική Θεωρία Galois (2η έκδοση), Εκδόσεις Κάλλιπος, 2024.

• J.Rotman, Θεωρία Galois, ΠΜΚ (1), Εκδόσεις Leader Books.

Ελληνική βιβλιογραφία:

1. Βάρσος Δ.Α., Δεριζιώτης Δ. Ι., Εμμανουήλ Ι. Π., Μαλιάκας Μ. Π., Ταλέλλη Ο. Π., Μια Εισαγωγή στην Άλγεβρα, 3η Έκδοση, Εκδόσεις Σοφία, 2011.

2. Θ.Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους, Θεωρία Galois, Εκδόσεις Κάλλιπος, 2021.

3. Ν. Μαρμαρίδης, Βασική Θεωρία Galois (2η έκδοση), Εκδόσεις Κάλλιπος, 2024.

4. Απόστολος Μπεληγιάννης, Μία εισαγωγή στη Βασική Άλγεβρα, Εκδόσεις Κάλλιπος, 2015.

5. J.B. Fraleigh, Εισαγωγή στην Άλγεβρα, Πανεπιστημιακές Εκδ. Κρήτης, 2012.

6. M. Holz, Επανάληψη στην Άλγεβρα: Σύντομη Θεωρία και Ασκήσεις, Εκδόσεις Συμμετρία, 2015.

7. J.Rotman, Θεωρία Galois, ΠΜΚ (1), Εκδόσεις Leader Books.

Ξενόγλωσση βιβλιογραφία:

1. M.F.Atiyah, I.G.Macdonald, Εισαγωγή στη Μεταθετική Άλγεβρα, AddisonWesley Publishing Company, 1969.

2. D. Dummit, R. Foote, Μεταθετική Άλγεβρα, 3η έκδοση, Wiley publications, 2004.

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ:

Η τελική εξέταση του μαθήματος, θα πραγματοποιηθεί με γραπτές εξετάσεις μέσα στο σύνηθες πρόγραμμα της εξεταστικής περιόδου του τμήματος.