جبر خطی
سرفصل مباحث (قابل تغییر)
دستگاههای معادلات خطی
مقدمه‌ای بر بردارها: ترکیب خطی دو بردار، ضرب داخلی، نامساوی کوشی-شوارتس و نامساوی مثلث
هندسه‌ی دستگاههای معادلات خطی: تصویر سطری و تصویر ستونی٬ حل‌پذیری دستگاههای معادلات خطی
حذف گاوس: محورگیری و شکست و موفقیت حذف گاوس، جایگذاری پسرو، ماتریس‌های حذف (مقدماتی)٬ حذف گاوس به زبان ماتریسی یا حذف گاوس با استفاده از ضرب ماتریسی: ضرب از راست = عملیات ستونی و ضرب از چپ = عملیات سطری
پنج دیدگاه برای ضرب ماتریس در ماتریس
معکوس ماتریس‌ها، ایده‌ی گاوس-جردن
هزینه‌ی حل دستگاههای معادلات خطی با حذف گاوس
برخی از خواص جبر ماتریسی، ماتریس‌های جایگشت٬ A = LU و PA = LU
فضاهای برداری
مفهوم قدرتمند فضای برداری٬ اشتراک و اجتماع دو فضای برداری
فضای ستونی٬ فضای پوچ٬ فرم سطری-پلکانی٬ جواب‌های ویژه٬ فرم سطری-پلکانی کاهش‌یافته٬ شرط حل پذیری Ax=b برحسب فضای ستونی٬ مراحل یافتن جواب عمومی Ax=b ٬ تمام حالت‌های ممکن برای حل Ax=b
بردارهای مستقل خطی٬ استقلال خطی و ارتباط آن با فضای پوچ
مفهوم پایه برای یک فضای برداری٬ بُعد
محاسبه‌ی یک پایه برای فضای ستونی٬ پایه برای فضای پوچ٬ فضای سطری و پایه‌ای برای آن٬ فضای پوچ چپ و پایه‌ای برای آن٬ دایاگرام سترنگ
انواع دیگری از فضاهای برداری٬ ماتریس‌ها و گراف‌ها
تعامد
تعامد چهار زیرفضای بنیادین٬ تصویر قائم٬ تقریب کمترین مربعات٬ پایه‌های متعامد و روند گرم-اشمیت
دترمینان
ده خاصیت دترمینان٬ (روش آماتوری) محاسبه با استفاده از هم‌عامل‌ها٬ محاسبه‌ی دترمینان با عملیات سطری-مقدماتی٬ فرمولی برای معکوس ماتریس برحسب هم‌عامل‌ها و قاعده‌ی کرامر
مساله‌ی مقدار ویژه
تعبیر هندسی بردارهای ويژه و کاربرد آن در مورد ماتریس‌های تصویر٬ جایگشت و دوران٬ روش (آماتوری) محاسبه‌ی مقدارها و بردارهای ويژه‌ی ماتریس‌های کوچک با قلم و کاغذ٬ قطری‌سازی یک ماتریس (تجزیه‌ی طیفی)٬ چندگانگی جبری و هندسی
پایداری گسسته-زمان (شور)٬ حل دستگاههای معادله‌های تفاضلی خطی مرتبه‌ی اول با توان‌های ماتریس و تجزیه‌ی طیفی٬ حل دستگاههای معادله‌های دیفرانسیل خطی مرتبه‌ی اول با تابع نمایی ماتریسی و تجزیه‌ی طیفی
ماتریس‌های متقارن٬ ماتریس مارکوف٬ ماتریس‌های مختلط٬ ماتریس فوریه
ماتریس‌های مثبت معین متقارن٬ فرم مربعی و ماتریس هسه‌ای
قضیه‌ی کیلی-همیلتون٬ ماتریس‌های متشابه و فرم کانونی جردن
تجزیه‌ی مقدار تکین
توجه: مباحث آزمون پایان‌ترم امسال تا حدودی با نمونه سوال قبل متفاوت است.
برخی از کتاب‌های مفید
به انگلیسی:
- G. Strang, Introduction to Linear Algebra, 5th Edition, SIAM, 2016.
- G. Strang, Linear Algebra and Its Applications, 4th Edition, Brooks/Cole/Cengage, 2006.
به فارسی:
- گیلبرت سترنگ، جبر خطی و کاربردهای آن، ترجمه‌ی حجت رضایی پژند و ابوالقاسم بزرگ‌نیا، انتشارات دانشگاه فردوسی مشهد، ۱۳۸۲.
