مبانی آنالیز عددی
برای فهم بهتر درس، آشنایی با برنامه‌نویسی حتی‌الامکان در متلب مفید است.
سرفصل مباحث
سرفصل مباحث
- خطا در آنالیز عددی: منابع خطا در محاسبات علمی، خطای گسسته‌سازی(برشی یا تقریب) و قضیه‌ی تیلور، نمایش اعداد با دقت متناهی: ((اعداد نرمال، ایده‌ی بیت پنهان، مفهوم اپسیلون ماشین، اعداد زیرنرمال))، خطای مطلق و خطای نسبی و ارقام بامعنای یک عدد، سبک‌های گردکردن، میزان خطای گردکردن، حساب ممیز شناور و استاندارد IEEE برای آن، توزیع اعداد ماشین، برخی خواص غیرمتعارف حساب ممیزشناور، برخی فجایع ناشی از استفاده‌ی نامناسب از حساب ممیزشناور(کلیپی از انفجار موشک آریان ۵ در ژوئن ۱۹۹۶)، میزان حساسیت یک مسئله به خطاهای گردکردن: عدد وضعیت مسئله، پدیده‌ی حذف، انتشار خطا، میزان حساسیت یک الگوریتم به خطاهای گردکردن: پایداری عددی الگوریتم
- ریشه‌یابی توابع یک‌متغیره: عدد وضعیت مسئله‌ی ریشه‌یابی، قضیه‌ی آبل-روفینی، روش‌های تکراری و نرخ همگرایی آن‌ها، معیارهای توقف یک الگوریتم تکراری، روش دوبخشی، روش نقطه‌ی ثابت (تکرار ساده) و شرایط همگرایی آن، روش نیوتن-رفسون، روش خط قاطع، روش نابجایی، روش‌های مدرن ریشه‌یابی (درونيابی چندجمله‌ای- ماتریس همراه - مقادیرویژه)
- درون‌یابی با چندجمله‌ای‌ها: مرور قضیه‌ی تقریب وایرشتراس، درون‌یابی لاگرانژ، وجود و یکتایی چندجمله‌ای درونیاب، خطای تقریب یک تابع با درونیاب چندجمله‌ای، معایب فرم کلاسیک درون‌یابی لاگرانژ، روش هورنر برای ارزیابی کارای چندجمله‌ای‌ها در پایه‌ی توانی، روش تفاضلات تقسیم‌شده‌ی نیوتن به همراه پیچیدگی محاسباتی تعیین و ارزیابی آن، تفاضلات متناهی، چندجمله‌ای درونیاب پیشروی نیوتن، پدیده‌ی رونگه و نقاط چبیشفی، درون‌یابی با اسپلاین‌های خطی و مربعی
- مشتق‌گیری عددی: فرمول‌های مختلف مشتق‌گیری عددی از مراتب مختلف با استفاده از چندجمله‌ای درونیاب و خطای آن‌ها، بررسی پایداری عددی فرمول‌های مشتق‌گیری عددی در حساب ممیز شناور، مشتق‌گیری گام مختلط
- انتگرال‌گیری عددی: عدد وضعیت مسئله‌ی انتگرال‌گیری، دیدگاه نیوتن-کوتز، فرمول‌های بسته و باز، خطای (برشی) انتگرال‌گیری عددی، قاعده‌ی ذوزنقه‌ای ساده و خطای آن، قاعده‌ی سیمسون ساده و خطای آن، روش ذوزنقه‌ای مرکب و خطای آن، روش سیمسون مرکب و خطای آن، روش‌های نقطه میانی ساده، مرکب و خطای آن‌ها، قاعده‌ی رامبرگ، مختصری از انتگرال‌گیری عددی با دیدگاه گاوس
- حل عددی دستگاه‌های معادلات خطی: عدد وضعیت مسئله‌ی حل دستگاه‌های معادلات خطی، حذف گاوس و تجزیه‌ی LU ، ضریب رشد و لزوم محورگیری، تجزیه‌ی چولسکی برای ماتریس‌های متقارن مثبت معین
(برخی از) یادداشت‌های کلاس درس
(برخی از) یادداشت‌های کلاس درس
- جلسه‌ی اول
- جلسه‌ی دوم
- جلسه‌ی سوم
- جلسه‌ی چهارم
- جلسه‌ی پنجم
- جلسه‌ی ششم
- جلسه‌ی هفتم: شروع ریشه‌یابی
- جلسه‌ی هشتم
- جلسه‌ی نهم
- جلسه‌ی دهم: شروع درون‌یابی
- جلسه‌ی یازدهم
- جلسه‌ی دوازدهم
- جلسه‌ی سیزدهم
- جلسه‌ی چهاردهم
- جلسه‌ی پانزدهم
- جلسه‌ی شانزدهم: شروع مشتق‌گیری عددی
- جلسه‌ی هفدهم
- جلسه‌ی هجدهم: شروع انتگرال‌گیری عددی
- جلسه‌ی نوزدهم
- جلسه بیستم
(آخرین به‌روزرسانی: بهمن‌ماه نود و هفت)
برخی از کتاب‌های مفید
برخی از کتاب‌های مفید
به انگلیسی:
- U. M. Ascher, C. Greif, A First Course in Numerical Methods, SIAM, 2011.
- M. L. Overton, Numerical Computing with IEEE Floating Point Arithmetic, SIAM, 2001.
به فارسی:
- کِندال اَتکینسون، آشنایی با آنالیز عددی، ترجمه‌ی علی دانایی، مرکز نشر دانشگاهی، چاپ اول، ۱۳۸۷.
- ریچارد بوردن، داگلاس فیرز و آلبرت رینولدز، آنالیز عددی، ترجمه‌ی علی اکبر عالم‌زاده، اسماعیل بابلیان و محمدرضا امیدوار، انتشارات ققنوس، چاپ هشتم، ۱۳۸۶.
- دواِین هانسِلمن و بروس لیتِل‌فیلد، راهنمای جامع MATLAB 7، ترجمه‌ی امیرهوشنگ غیوری، کانون نشر علوم، ۱۳۸۸.
