- У творі Квадратура параболи Архімед довів, що площа сегмента параболи, отсекаемого від неї прямий, становить 4/3 від площі вписаного в цей сегмент трикутника (див. малюнок). Для доказу Архімед підрахував суму нескінченного ряду:
\sum_{n=0}^\infty 4^{-n} = 1 + 4^{-1} + 4^{-2} + 4^{-3} + \cdots = {4 \over 3}
Кожний доданок ряду — це загальна площа трикутників, вписаних в неохоплену попередніми членами ряду частина сегмента параболи.
- Найкращим своїм досягненням він вважав визначення поверхні та об'єму кулі — задача, яку до нього ніхто вирішити не міг. Архімед просив вибити на своїй могилі куля, вписана в циліндр.
- Наступна задача відноситься до геометрії кривих. Нехай дана деяка крива лінія. Як визначити дотичну в будь-якій її точці? Або, якщо перекласти цю проблему на мову фізики, нехай нам відомий шлях деякого тіла в кожен момент часу. Як визначити швидкість його в будь-якій точці? У школі вчать, як проводити дотичну до кола. Стародавні греки вміли, крім того, знаходити дотичні до еліпса, гіперболи і параболі. Перший загальний метод рішення цієї задачі був знайдений Архімедом. Цей метод згодом ліг в основу диференціального числення.
- В математиці, фізиці і астрономії дуже важливо вміти знаходити найбільші і найменші значення змінних величин — їх екстремуми. Наприклад, як серед циліндрів, вписані в кулю, знайти циліндр, що має найбільший обсяг? Всі такі завдання в даний час можуть бути вирішені за допомогою диференціального числення. Архімед першим побачив зв'язок цих завдань з проблемами визначення дотичних і показав, як розв'язувати задачі на екстремум.
- Величезне значення для розвитку математики мало обчислене Архімедом відношення довжини кола до діаметра. У праці «Про вимір кола» Архімед дав своє знамените наближення для числа π: «архимедово число» 3\frac{1}{7}. Більше того, він зумів оцінити точність цього наближення: 3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{1}{7}. Для доказу він побудував для кола вписаний і описаний 96-косинці і обчислив довжини їх сторін.