Tema 2: Aplicaciones de la trigonometría

La trigonometría es una herramienta  muy útil que sirve para determinar distancias entre puntos mediante la técnica de la triangulación, al igual que para estudiar fenómenos periódicos. Se utiliza en campos tan diversos como la astronomía, la geodesia, la cartografía, la náutica, las telecomunicaciones, la medicina, la física, la química 

En este tema, aprenderemos a calcular la longitud de los lados y el área de algunas figuras geométricas utilizando las razones trigonométricas.

CÁLCULO DE LONGITUDES.

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS:

Para poder resolver cualquier triángulo es necesario conocer al menos 3 datos y uno de ellos ha de ser un lado.

En el caso de un triángulo rectángulo ya sabemos que uno de sus ángulos mide 90º, por lo que es suficiente con que se conozcan otros dos datos, uno de ellos un lado.

En este curso, solo resolveremos triángulos rectángulos.

Pueden presentarse 4 situaciones:

1) que se conozcan la hipotenusa y un cateto

2) que se conozcan dos catetos

3) que se conozcan un ángulo agudo y la hipotenusa

4) que se conozcan un ángulo agudo y un cateto

Para resolver el siguiente triángulo rectángulo, deberás hacer uso de las razones trigonométricas seno, coseno y tangente. Además del teorema de Pitágoras.

  EJEMPLO:

• 1. ¿Cuál es la longitud de a?

• 1. ¿Cuál es la longitud de d?

• 1. ¿Cuál es la amplitud del ángulo C?

• 1. ¿Cuál es la amplitud del ángulo E?

CÁLCULO DE ÁREAS.

También se pueden calcular áreas de diferentes polígonos. Para el cálculo de las áreas de los diferentes polígonos utilizaremos técnicas de triangularización.

ÁREA DE UN TRIÁNGULO CONOCIENDO DOS DE SUS LADOS Y EL ÁNGULO QUE FORMAN

Como  

si despejamos h se obtiene que 

El área de u n triángulo se calcula con la formula

                                                                    por tanto  

EJEMPLO: Calcula el área del triángulo siguiente sabiendo que AB=2cm, BC=3cm y el ángulo ABC=60º

ÁREA DE UN TRIÁNGULO CONOCIENDO UNO DE SUS LADOS Y SUS DOS ÁNGULOS ADYACENTES

Para determinar la altura del triángulo debemos plantear un sistema de ecuaciones donde una de las incógnitas es h y la otra x.  

x es la longitud de una de las partes en las que la altura divide la base b, por tanto la longitud de la otra parte es b - x. 

El sistema que tenemos que resolver se obtiene a partir de las tangentes de los ángulos conocidos.

despejando x

sustituimos el valor de x en        

        y obtenemos la altura h

despejando x

sustituimos el valor de x en        

        y obtenemos la altura h

Calculemos el área:

EJERCICIO: Calcula el área de un triángulo isósceles sabiendo que el ángulo desigual mide 30º  y su altura 5 cm. 

Consideramos uno de los dos triángulos rectángulos en los que queda dividido y tenemos que:

     Y por último el área

ÁREA DE POLÍGONO REGULAR CONOCIENDO EL RADIO DE LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA

Un polígono regular de N lados inscrito en una circunferencia de radio R queda dividido en N triángulos isósceles. El ángulo desigual  mide Para calcular la longitud del lado l y la altura del triángulo a (apotema del polígono)

Utilizaremos: 

El área del polígono será

ÁREA DE UN TRAPECIO ISÓSCELES

EJEMPLO: Calcula el perímetro y el área de un trapecio rectángulo si la base mayor mide 5 cm y la altura 4 cm. Sabiendo que el ángulo agudo adyacente a la base mayor mide 60º.

 Consideramos el triángulo rectángulo del cual conocemos uno de sus catetos h = 4 cm y sus tres ángulos, 90º, 60º y 30º. Llamaremos a a la hipotenusa y x al otro cateto

Para calcular la hipotenusa a utilizaremos sen(60) y para calcular el otro cateto x usaremos tan(60)

CÁLCULO DE DISTANCIAS INACCESIBLES

Algunas de estas distancias se resuelven con un simple triángulo rectángulo. Aunque veremos algún ejemplo, en este apartado nos centraremos en los problemas de doble visual, los cuales se resuelven de manera similar a la del calculo del área de un triángulo del que se conoce un lado y sus ángulos adyacentes.

En estos problemas debemos diferenciar entre ángulo de elevación y ángulo de depresión.

EJEMPLO: Calcula el ancho del rio con los datos de la siguiente figura. 

EJERCICIO: Desde un faro situado a 687 m sobre el nivel del mar, se observa una embarcación. El ángulo de depresión es de 23º. ¿A qué distancia se encuentra del faro? 

PROBLEMAS DE DOBLE VISUAL

EJEMPLO: Calcula el valor de x y h en la siguiente figura

                                                            Después de calcular x, sustituimos en la primera ecuación del sistema y calculamos h:

EJERCICIO: Una torre está protegida por un foso. Situándonos en A, el ángulo vale 42°. Si retrocedemos 10 metros hasta B, el ángulo de elevación es de 27°. Calcula el ancho del foso x y la altura de la torre h.