Tema 2: Resolución de triángulos

Resolver un triángulo consiste en calcular, a partir de unos datos que nos proporcionan, los tres lados, los tres ángulos y el área del triángulo en cuestión.

Son necesarios al menos 3 datos y no de ellos tiene que ser un lado.

Para ello tenemos a nuestra disposición todas las relaciones y teoremas que conoces del curso pasado, además de las que vas a estudiar en este curso.

Como esto es una cuestión práctica, la mejor manera de aprenderlo es hacerlo a base de ejemplos. Es importante que revises como se resolvian los triángulos rectángulos del curso anterior.

TEOREMA DEL SENO

TEOREMA DEL COSENO

TEOREMA DE LA TANGENTE

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS CUALESQUIERA

Según los datos que conozcamos utilizaremos el teorema del seno o del coseno.

APLICANDO TEOREMA DEL COSENO

CONOCIDOS LOS TRES LADOS

EJEMPLO: Resuelve el triángulo ABC del que se conoce a = 3 cm, b = 6 cm y c = 4 cm.

Al conocer los tres lados, utilizaremos el teorema del coseno para obtener los ángulos:

Cálculo del ángulo A:

Cálculo del ángulo B:

Cálculo del ángulo C:

CONOCIDOS DOS LADOS Y EL ÁNGULO QUE FORMAN

EJEMPLO: Resuelve el triángulo ABC del que se conoce A = 45º, b = 10 cm y c = 8 cm.

Cálculo del lado a:

Primero, calcularemos el lado que falta con el teorema del coseno:

Cálculo del ángulo B:

Para calcular los ángulos que faltan podriamos usar el teorema de coseno como el caso anterior, o bien el teorema del seno. Utilizaremos este último:

Cálculo del ángulo C:

APLICANDO TEOREMA DEL SENO

CONOCIDO UN LADO Y DOS ÁNGULOS

EJEMPLO: Resuelve el triángulo ABC del que se conoce A = 49º 38', B = 70º 21' y b = 22,94 cm.

En este caso utilizaremos el teorema del seno para calcular los lados que faltan:

Cálculo del ángulo C:

Cálculo del lado a:

Cálculo del lado c:

CONOCIDOS DOS LADOS Y EL ÁNGULO OPUESTO A UNO DE ELLOS

En este caso utilizaremos siempre el teorema del seno y puede ocurrir que no tenga solución, que tenga 1 solución o que tenga 2 soluciones.

A continuación veremos diferentes ejemplos que reflejen cada una de estas posiblidades:

EJEMPLO 1: Resuelve el triángulo ABC del que se conoce A = 30º, a = 3 cm y b = 8 cm.

Cálculo del ángulo B:

Como el seno solo puede tomar valores comprendidos entre -1 y 1, el triángulo no se puede resolver.

No existe ningún triángulo con esos datos.

EJEMPLO 2: Resuelve el triángulo ABC del que se conoce A = 30º, a = 3 cm y b = 6 cm.

Cálculo del ángulo B:

El triángulo es rectángulo.

Cálculo del ángulo C:

Cálculo del lado c:

EJEMPLO 3: Resuelve el triángulo ABC del que se conoce A = 60º, a = 8 cm y b = 4 cm.

Cálculo del ángulo B:

De las dos soluciones,

no sirve ya que A+B superaría los 180º que suman los tres ángulos del triángulo.

Por tanto

Cálculo del ángulo C:

Cálculo del lado c:

EJEMPLO 4: Resuelve el triángulo ABC del que se conoce A = 30º, a = 3 cm y b = 4 cm.

Cálculo del ángulo B:

Sirven las dos soluciones ya que en ambos casos A+B no superan los 180º que suman los tres ángulos del triángulo.

Cálculo del ángulo C:

Cálculo del lado c:

ÁREA DE UN TRIÁNGULO

El perímetro del triángulo es:

El semiperímetro:

Existen 5 fórmulas diferentes para calcular el área de un triángulo:

1. Conociendo la base y la altura:

2. Conociendo los tres lados:

LA FÓRMULA DE HERÓN

donde p es el semiperímetro.

3. Conociendo 2 lados y el ángulo que forman:

4. Conociendo los 3 lados y el radio de su circunferencia circunscrita:

NOTA: El radio de la circunferencia circunscrita se puede obtener sabiendo que:

5. Conociendo los 3 lados y el radio de su circunferencia inscrita:

PROBLEMAS

Además de los problemas que estudiamos en 4º ESO, veremos otros en los que deberemos utilizar los teoremas del seno y del coseno.

CÁLCULO DE LA DISTANCIA A UN PUNTO INACCESIBLE

EJEMPLO: Calcula la distancia entre los puntos A y B, sabiendo que la distancia entre A y C es de 100 m, el ángulo A = 60º, el ángulo C = 45º.

Primero calculo el ángulo B

Utilizando el teorema del seno, calculamos la distancia entre A y B: c

CÁLCULO DE LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS INACCESIBLES

EJEMPLO: Calcula la distancia entre A y B, sabiendo que la distancia entre C y D es de 400 m, el ángulo C = 70º, el ángulo D = 80º, el ángulo x = 30º y el ángulo y = 42º.