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Une ligne coaxiale infinie de 50 ohms ou de 75 ohms.
Pour un tronçon de ligne de 10 cm de ces câbles coaxiaux, en série dans le câble de cuivre, il y a une self.
Et entre l'âme et la masse, il y a un condensateur pour ce même tronçon. L’impédance caractéristique du coaxial = Zc = VL'/C' = 50 ohms.
Le tronçon dL doit être beaucoup plus petit que la longueur de l’onde qui va la traversée.
En TV, on a Zc =VL'/C' = 75 ohms. -> Pour des lignes infinies supposées parfaites.
On doit retrouver partout sur la longueur du câble coaxial 50 ohms la même impédance caractéristique de 50 ohms. On ara une suite infinie de très petits bouts de Zc, tout le long de cette ligne infinie.
Il faut éviter de marcher sur un tel câble et il faut aussi éviter les angles de 90°.
En électronique, on évite partout les angles de 90°. Ce sont de petites antennes.
Les lignes infinies et parfaites en réalité cela n'existe pas.
Si ZL = Zc = 50 E = 50 ohms, il n'y aura pas de tension de retour vers l’émetteur. Cela serait donc l'idéal !
Une tension de retour trop élevée serait dangereuse pour l'émetteur ! Abaque de Smith pdf ici.
ZL = 25+j20 -> on va là normalisée comme ceci ZL = (25+j20 ) / 50 = 0,5 +j0,4.
Les cercles en couleur bleu clair correspondent aux impédances qui ont tous la même partie réelle, ici on a 0,5.
Le nombre de la partie réelle normalisée est indiqué sur l'axe bleu horizontal (0,5).
Les courbes en couleur verte claire correspondent aux impédances qui ont tous la même partie imaginaire, ici on a 0,4.
Le nombre de la partie imaginaire normalisée est indiqué sur le cercle externe, en couleur rouge foncé.
Dans notre exemple, c'est la courbe en couleur verte claire dont sa partie imaginaire vaut +0,4 (inductive).
Les courbes brunes correspondent aux impédances qui ont tous la même partie imaginaire capacitive.
Le nombre de la partie imaginaire normalisée est indiqué sur le 1e cercle externe.
L'axe des réels horizontal par du court-circuit (0 ohm), puis par le 1 réel normalisé (50 ohms) vers l'infini.
En gardant toujours 1 réel + J0.
Le sommet de l'axe vertical vaut 0 + j -> +90° inductifs et le bas de cet axe vaut 0 - j -> - 90° capacitifs.
Le coefficient de réflexion ( Γ ) en tension est (ZL - Zc ) / (ZL + Zc ).
Le module du coefficient de réflexion ( Γ ) = ρ = V réflexions / V émissions.
Si V réflexions = 0 alors 0 / V émissions = 0.
Le pire des cas serait, si V réflexions = V émissions =>V émissions / V émissions = 1.
Donc ρ pourrait varier de 0 à 1.
Si ZL = 150 + j50, on va normaliser l’impédance pour pouvoir la mettre dans l’abaque de Smith.
ZL / Zc = (150 + j50) / 50 = 3 + j, Impédance qui est inductive grâce au signe +.
Lorsque ZL = Zc le transfère, de la tension est maximale. Il n'y a plus de tension réfléchie !
Une onde stationnaire est une onde causée par un retour.
Exemple
On peut dire que ZL est une self, car le point A est au-dessus de l'axe des réels.
Le réel vaut 3 et l'imaginaire vaut +J. Et ZL = 3 +J, et si on renormalise, on aura ZL=150+J50.
Le module du coefficient de réflexion = ρ = |OA / OB| = 9,5 / 17,5 = 0,543. et l'angle est de 12,5° sur ce graphique et sur la 2e circonférence extérieure.
Le coefficient de réflexion est = (ZL-Zc) / (ZL+Zc) = (150 + j50-50)/(150+j50+50) = (100+j50) / (200+j50) = (10+j5)/(20+j5) = (10+j5)(20-j5)/(20-j5)(20+j5) = (200-j50+j100+25)/(400+25) =225+j50 / 425 =
0,5294 + j0,117647 =
|0,5294 + j0,117647| = V(0,5294²+0,117647²) = V(0,28026+0,0138408) = V0,2941 = 0,5423.
Atg 0,117647/0,5294 = Atg 0,222227 = 12,53°.
Si ZL = Zc alors le coefficient de réflexion sera = 0 et son module |0| = ρ = 0.
Une onde progressive est une onde électromagnétique qui n'a aucun retour qui se déplace dans le vide, dans l'air ou dans un câble coaxial avec une certaine vitesse, on parlera alors de sa longueur d'onde ( λ ) .
La vitesse de l'onde dans un câble coaxial est inférieure à la vitesse de l'onde dans le vide.
On parlera alors de la vélocité du câble coaxial, plus celui-ci est dit véloce et plus vite l'onde se propagera.
L'élément qui ralentira le plus l'onde est le diélectrique isolant qui entoure l’âme en cuivre.
En général, un coaxial qui possède un bon diélectrique isolant sera plus coûteux. Et il possédera une permittivité plus basse de 3,4 vers 1,15. La vitesse de propagation vaut 1 / Vε.
Si la ε serait de 3 alors V3 = 1,732 -> Vp = 1/1,732 = 0,58. -> vitesse de la lumière x 0,58 = 174000 km/s.
Et 0,58 s'appellera le coefficient de vélocité (TOS = 58).
Si la ε serait de 2,2 alors V2,2 = 1,483 -> Vp = 1/1,483 = 0,67. -> vitesse de la lumière x 0,67 = 201000 km/s.
Et 0,67 s'appellera le coefficient de vélocité (TOS = 67).
Le TOS peut varier de 1 à 100.
Les diélectriques des câbles coaxiaux sont essentiellement en polyéthylène 0,66 ou en téflon à 0,70.
Pour avoir une grande vélocité, on aurait intérêt à avoir comme isolant de l'air, enfin avec le plus d'air que possible.
L'onde stationnaire, c'est l'onde progressive à laquelle, on ajoute l'onde de retour.
L'onde stationnaire et l'onde de retour ont la même fréquence.
L'onde stationnaire et l'onde de retour ont la même vitesse.
Pour les fréquences nous resteront en dessous des 7 GHz.
Avec c = 300 000 km / s, qui est la vitesse de l’onde électromagnétique qui se propage dans le vide.
Pour une fréquence de 7 GHz, sa longueur d’onde sera λ = c / f = 300 000 / 7 000 000 = 4,3 cm.
Pour une fréquence de 300 MHz, sa longueur d’onde sera λ = c / f = 300 000 / 300 000 = 1 m.
Pour une fréquence de 144 MHz, sa longueur d’onde sera λ = c / f = 300 000 / 144 000 = 2,083 m.
Pour une fréquence de 100 MHz, sa longueur d’onde sera λ = c / f = 300 000 / 100 000 = 3 m.
Pour une fréquence de 10 MHz, sa longueur d’onde sera λ = c / f = 300 000 / 10 000 = 30 m.
Une longueur d'onde λ correspond à la longueur d'un motif qui se répète.
Ici nous avons une sinusoïde qui se répète.
L'amplitude instantanée de la sinusoïde = Amax sin (ωt+φ ). Avec φ comme de déphasage de départ.
L'amplitude instantanée de la sinusoïde = Amax sin (ωt) sans déphasage de départ.
L'amplitude instantanée de la sinusoïde = une fonction du temps qui s'écoule.
Au temps t = 0, l'amplitude de la sinusoïde vaut 0 v. (sin(0)) = 0.
Si f = 1 Hz et vmax = 2 v.
Au temps t = 0, l'amplitude de la sinusoïde vaut 0 v. car (sin(0)) = 0.
Au temps t = 0,25 s, l'amplitude de la sinusoïde vaut 2*(sin(2*pi*f*t)) = 2*(sin(2*pi*0,25))= 2 v.
Au temps t = 0,5 s, l'amplitude de la sinusoïde vaut 2*(sin(2*pi*f*t)) = 2*(sin(2*pi*0,5))= 0 v.
Au temps t = 0,75 s, l'amplitude de la sinusoïde vaut 2*(sin(2*pi*f*t)) = 2*(sin(2*pi*0,75))= -2 v.
Au temps t = 1 s, l'amplitude de la sinusoïde vaut 2*(sin(2*pi*f*t)) = 2*(sin(2*pi))= 0 v.
Au temps t = 1,2 s, l'amplitude de la sinusoïde vaut 2*(sin(2*pi*f*t)) = 2*(sin(2*pi*1,2))= 1,9 v.
Au temps t = 2 s, l'amplitude de la sinusoïde vaut 2*(sin(2*pi*f*2)) = 2*(sin(2*pi*2))= 0 v.
Une période vaut 1 s.
Si k = un nombre entier quelconque alors 2*(sin(k*pi)) = 0 v. Et pi radians = 180° d'angle.
Si l'on a une onde électromagnétique de fréquence 300 MHz, sa longueur d'onde λ = 1 m et que Vmax = 3v.
3*sin(x*2*pi) et comme x = 1 m, on aura 3*sin(2*pi) = 0 v.
3*sin(x*2*pi) et comme x = 1,2 m, on aura 3*sin(1,2*2*pi) = 2,853 v.
3*sin(x*2*pi) et comme x = 1,25 m, on aura 3*sin(1,25*2*pi) = 3 v.
Le ROS existe s'il y a un retour de l'onde émise.
L'onde de retour possède la même fréquence et presque la même amplitude, mais elle a un certain déphasage.
Si les 2 amplitudes ne sont pas égales, on a plus une belle sinusoïde pour l'onde stationnaire.
Dans le cas où le ROS existerait, on obtient une onde stationnaire avec un haut et un bas.
Le ROS = Vmax / Vmin = (VE+Vr) / (VE-Vr).
V stationnaire = VE + Vr = Vmax Sin (kx - ωt) + Vmax Sin (kx + ωt) = Vmax {Sin (kx - ωt) + Sin (kx + ωt)}.
Si (kx - ωt) = A et si (kx + ωt) = B alors Sin (A)+Sin (B) = 2 Sin {( A+B)/2} Cos {(A-B)/2} =
2 Sin {( kx - ωt+kx + ωt)/2} Cos {(kx - ωt-kx - ωt)/2} = 2 Sin (2kx / 2) Cos {( -2ωt / 2) / 2} =
2 Sin (kx) Cos (-ωt).
Vs = VE + Vr = Vmax {2 Sin (kx) Cos (-ωt)} = 2 Vmax Sin (kx) Cos (-ωt) =2 Vmax Sin (kx) Cos (ωt) .
2 Vmax Sin (kx) Cos (ωt) → 2 Vmax Sin (kx) Cos (ωt) = au temps t = 0 -> Cos (ωt) =1.
A' Cos (2πFt) -> un ventre au λ /4 puis tous les λ /2. Entre un sinus et un cosinus, il y a un déphasage de λ /4.
2 Vmax Sin(kx) = 0 -> kx = 0 -> kxn -> n est un entier + -> kxn = 0 pour 0, pi, 2pi, npi... -> un nœud tout les λ /2.
2 Vmax Sin (kx) Cos (ωt) -> toutes ses sinusoïdes.
Si on se déplace en longueur d'onde dans une ligne de transmission soit, on va vers la source où soit, on va vers le récepteur (la charge). Voilà à quoi servent les 2 circonférences externes en vert et en rouge foncé.
On se déplace en λ vers la source de la gauche vers la droite en montant sur la circonférence externe de couleur verte.
On se déplace en λ vers le récepteur (la charge ZL) sur l'avant-dernière circonférence externe en rouge foncé.
Le ROS
Le long du coaxiale le ROS reste toujours le même, seule l'impédance change !
ρ = V réflexions / V émissions -> P = V² / R.
Le coefficient de réflexion est Γ = (ZL-Zc) / (ZL+Zc)
Le TOS peut varier de 1 et 100. Suivant la permittivité du diélectrique isolant qui entoure l’âme en cuivre.
La normalisation d'une impédance Znormalisé = ZL / Zc.
Le ROS étant constant dans le câble coaxial, il sera représenté par un cercle centré au milieu de l'abaque de Smith.
Plus la circonférence est petite et moins il y a de la réflexion.
Une admittance est l'inverse de l'impédance = Zc / ZL .
Pour les composants en série on utilisera les impédances ( ZL / Zc ) c'est plus facile pour faire des additions.
Pour les composants en parallèle on utilisera les admittances ( Zc / ZL ) qui permettront de faire aussi des additions.
Dans l'abaque ci-dessus il y a pour une impédance de 2 -> son admittance sera 1/2 = 0,5.
Ils sont diamétralement opposés sur la circonférence du ROS.
Dans l'abaque ci-dessus il y a pour une impédance de 5 -> son admittance sera 1/5 = 0,2.
Ils sont diamétralement opposés sur la circonférence du ROS.
Il existe aussi un abaque de Smith pour les admittances.
Si les 2 abaques sont l'un sur l'autre, c'est plus facile pour résoudre les problèmes, mais c'est moins lisible.
Attention le logiciel Smith v4.1 a un malware !
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