AND OR NOT - GENESI

PREMESSA

Lo studio è finalizzato ad individuare un repertorio di forme tridimensionali ottenuto dalla combinazione di operazioni booleane (AND, OR, NOT) applicate a dei semicubi, adoperando un processo empirico-comparativo.

SEMICUBO

Un semicubo è ciascuna delle parti nelle quali è diviso un cubo da un piano che lo scompone in due solidi di pari volume. Condizione necessaria e sufficiente è che il piano passi per il baricentro del cubo.

SEZIONI DEL CUBO

Sono stati individuate 11 differenti modalità di sezionare il cubo in relazione alla posizione dei piani rispetto al cubo stesso.

Come si evince dalla tabella le sezioni dei semicubi possono avere forma di quadrato, rettangolo, esagono, rombo, parallelogramma e mai di triangolo, trapezio o pentagono.

SEMICUBI BASE

Degli infiniti piani che sezionano un cubo in due solidi di pari volume si è scelto di considerare solo quelli passanti per i vertici e/o i punti medi degli spigoli stessi.

Sono state così determinate 4 tipologie di sezione:

4M: piano passante per quattro punti medi

4V: piano passante per quattro vertici

6M: piano passante per 6 punti medi

2M2V: piano passante per 2 punti medi e due vertici

È possibile visualizzare i 4 casi facendo ruotare di 90° un piano passante per il baricentro e due punti medi opposti (4M 0°, 2M2V 45°, 6M 63°, 4V 90°).

All’interno di un cubo è possibile individuare più sezioni dello stesso tipo: 4M: 3 sezioni, 4V: 6 sezioni, 4M: 4 sezioni, 2M2V: 12 sezioni. Ogni sezione individuata genera 2 semicubi per un totale di (3+6+4+12)x2 = (25)x2 = 25 sezioni e 50 semicubi. In realtà i semicubi base rimangono 4, gli altri casi sono ottenibile attraverso una o più rotazioni del caso base. Lo stesso vale per le 4 sezioni base.

PROCESSO

STEP 1 L'ipotesi progettuale prevede di partire da tre cubi di pari lato dei quali uno vuoto (A) e poi di sezionare i due cubi pieni (B e C) usando 2 delle 4 tipologie di sezione precedentemente individuate. I due semicubi così ottenuti vengono traslati sul cubo vuoto facendo coincidere PI e PII con P.

Ad ogni coppia di semicubi è possibile applicare diverse operazioni facendo riferimento ai diagrammi di Venn e agli operatori booleani (and, or, not).

STEP 2 Il secondo passaggio mira ad individuare tutte le possibilità di combinare i 4 semicubi base (4M, 4V, 6M, 2M2V) presi 2 alla volta. Per procedere in forma empirico-comparativa si può partire da una tabella 50x50. Si possono subito escludere i casi che ripetono lo stesso accoppiamento (es. 4V01_a + 2M2V09_b = 2M2V09_b + 4V01_a). In relazione alla finalità dello studio si possono poi eliminare altri casi secondo questi criteri:

1. R1 quelli che prevedono la sovrapposizione dello stesso semicubo (B=C)

2. R2 quelli che richiudono il cubo di partenza (BuC= A)

3. R3 quelli ottenibili da un caso già individuato attraverso una o più rotazioni.

Per poter procedere nella comparazione ci si è limitati a considerare una tabella 4x25 costituita da una colonna con i 4 semicubi base (4M, 2M2V, 6M, 4V) e una riga con i 50 semicubi determinati dalle 25 sezioni. Si generano così 200 casi. Si è ipotizzato che gli altri siano ottenibili attraverso una o più rotazioni di quelli individuati nella tabella.

Vengono quindi esclusi i casi che non rispettano i primi due criteri imposti (4+4 = 8) e quelli che duplicano accoppiamenti già considerati nella tabella (50). Questi casi, per completezza di trattazione, sono stati comunque riportati).

Nella catalogazione le soluzioni sono state messe a confronto tra loro per verificare se ogni nuovo caso possa ottenersi attraverso una o più rotazioni di un caso già considerato e numerato.

Il risultato è costituito da 58 casi validi (4M u 4M 1 caso, 4M u 4V, 3 casi, 4M u 6M 2 casi, 4M u 2M2V, 6 casi, 4V u 4V 4 casi, 4V u 6M, 4 casi, 4V u 2M2V, 12 casi, 6M u 6M 2 casi, 6M u 2M2V 8 casi, 2M2V u 2M2V 16 casi, TOTALE 58 casi).

SEZIONI

lo studio è stato approfondito aggiungendo il complementare bianco al pezzo nero. In questo modo ogni caso è costituto da un cubo suddiviso in quattro pezzi: B AND C nero, A NOT (B OR C) bianco, B NOT C colore 1, C NOT B colore 2.

Questo passaggio ha fatto emergere che si può procedere ad un'ulteriore riduzione dei casi da considerare. Nell'esempio risulta evidente che se non si considerano le differenze dovute ai colori i quattro casi sono identici perché generati dalla stessa coppia di sezioni. Quindi nella versione plus del gioco si otterrebbero 4 puzzle uguali.

Si può ripartire dalle coppie di sezioni e quindi da una tabella 25 x 25 dalla quale escludere subito i casi nei quali le coppie sono formate dalle stesse due sezioni (a+b = b+a) e quelli sulla diagonale (es. a+a), Quindi i casi di partenza sono 300.

Per rendere praticabile la comparazione dei casi lo studio è stato ridotto ad una tabella 25 x 4 nella quale sono state riportate in orizzontale le 4 sezioni base e in verticale le 25 sezioni. Le quattro sezioni base sono costituite ognuna dalla prima sezione della stessa tipologia presente nella prima colonna (4M = 4M01, 4V = 4V01, 6M = 6M01 e 2M2V = 2M2V01). Sono subito stati eliminati 4 casi evidentemente non validi (es. 4M + 4M01) e 6 che ripetono un caso già individuato (es. 4M + 4V01 = 4V+4M01). Per comparare i rimanenti 90 si è proceduto per colonne e non per righe, ovvero partendo dalle coppie nelle quali il primo elemento è il 4M, poi il 4V, il 6M e il 2M2V. Sono stati progressivamente numerati i casi validi mentre quelli non validi sono stati contrassegnati con le rotazioni necessarie per trasformarli in un caso valido già individuato.

Il risultato del processo empirico porta ad affermare che i casi validi sono 23. Qualsiasi altra coppia di sezioni si voglia considerare sarà sempre riconducibile a uno dei casi validi presenti in tabella attraverso una o più rotazioni perché si potrà sempre ruotare la coppia di sezioni in modo che una delle due sia disposta come nella sezione base nella prima riga, mentre l’altra occuperà necessariamente una delle posizioni considerate in tabella nella prima colonna. Se ad esempio osserviamo il caso non presente in tabella costituito dalla sezione 4V02 e dalla sezione 2M2V10, attraverso una prima rotazione (z270°) si ottiene il caso in tabella 4V + 2M2V07 e una seconda rotazione (x180°) il CASO VALIDO 13 (ottenuto dalle coppie 4V e 2M2V04 e che corrisponde tramite rotazioni anche a 4V + 2M2V06 e 4V + 2M2V09).

I 23 casi validi sono così suddivisi: 4M u 4M 1 caso, 4M u 4V 2 casi, 4M u 6M 1 casi, 4M u 2M2V 2 casi, 4V u 4V 2 casi, 4V u 6M 2 casi, 4V u 2M2V 4 casi, 6M u 6M 1 casi, 6M u 2M2V 3 casi, 2M2V u 2M2V 5 casi. Le coppie di sezioni e i cubi corrispondenti sono ora riportati con codici riferiti ai colori.

Scomponendo ogni cubo nelle quattro parti che lo compongono emergono due evidenze:

il pezzo nero è sempre simmetrico rispetto al pezzo bianco e in alcuni casi i due pezzi sono sovrapponibili e la stessa cosa accade anche per i due pezzi colorati,
nessun pezzo di un cubo è mai uguale o simmetrico rispetto a quello di un altro cubo.

I 92 solidi ricomponibili in 23 cubi costituiscono i singoli pezzi dei puzzle 3d del board game.

REPERTORIO FORMALE

Ottenuti tutti i pezzi del gioco è ora possibile enucleano 41 solidi tutti differenti tra loro che costituiscono il repertorio formale che si intendeva ottenere. Si considerano quindi solo le due prime colonne dei pezzi individuati - escludendo le due successive che, come detto, riportano forme simmetriche - e si eliminano i casi della seconda colonna nei quali la forma si ripete identica (R01, R04, V05, V08 e V12).

Tra parentesi sono evidenziati i casi che si ripetono per simmetria.

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