Il gioco, unito a strumenti tangibili e digitali, può essere di supporto alla trattazione trasversale di alcuni argomenti di geometria, centrali, ad esempio, nel programma di Disegno.
(Assonometria | Insiemistica | Operazioni booleane | Matematica combinatoria)
[Immagini]
Sezionare i solidi è una operazione sottrattiva che ha spesso una finalità conoscitiva e/o illustrativa.
Il problema può essere affrontato scomponendolo nella individuazione delle intersezioni tra il piano di sezione e le superfici che compongono il solido. Comprendere le sezioni aiuta ad affrontare le intersezioni tra solidi.
Si può partire da tre solidi: la sfera, il cilindro e il cubo per poi sezionarli ottenendo una semisfera, un semicilindro e un semicubo.
Una semisfera è ciascuna delle due parti in cui è divisa una sfera da un piano passante per il centro. Un semicilindro è ciascuna delle due parti in cui è diviso un cilindro da un piano che passa per il suo asse. In ambito architettonico un semicubo è ciascuna delle due parti in cui è diviso un cubo da un piano passante per il baricentro e parallelo ad una faccia.
Nel nostro studio è stata definita semicubo ciascuna delle parti nelle quali è diviso un cubo da un piano che lo scompone in due solidi di pari volume. Condizione necessaria e sufficiente è che il piano passi per il baricentro del cubo.
La verifica empirica di tale assunto è sperimentabile posizionando una pallina su un bastoncino di lunghezza pari alla metà del lato di un cubo trasparente, bastoncino disposto perpendicolarmente ad una delle facce e collocato sull'intersezione delle diagonali della stessa faccia in modo che la pallina si trovi nell'esatta posizione del baricentro del cubo. Quest'ultimo viene poi riempito d'acqua colorata per metà del suo volume. Muovendo il cubo in diverse posizioni la superficie dell'acqua definisce tutte le possibili sezioni del cubo che lo dividono in due solidi di pari volume. Sarà facile verificare che la pallina si troverà sempre sulla superficie dell'acqua evidenziando che il baricentro appartiene sempre ai piani di sezione.
[Cubi sezionati]
Tra i semicubi ottenuti dalle sezioni dei cubi si individuano le differenti forme generate.
Sono stati considerati solo i quattro casi nei quali il piano di sezione passa per vertici e/o punti medi (4M, 4V, 6M, 2M2V) e che generano un quadrato, il rettangolo massimo, un esagono regolare e il rombo massimo.
È possibile visualizzare i 4 casi facendo ruotare di 90° un piano passante per il baricentro e due punti medi opposti (4M 0°, 2M2V 45°, 6M 63°, 4V 90°).
Le sezioni sono complessivamente 25: 3 nel caso del 4M, 6 nel 4V, 4 nel 6m e 12 nel 2M2V.
[applicazioni on line]
Due applicazioni di GeoGebra realizzate durante il workshop CUB3S consentono di osservare le sezioni modificando i parametri che determinano la posizione del piano.
Le differenti sezioni possono essere visualizzate anche attraverso due esperienze.
[Cubi trasparenti riempiti di sale | supporti | schemi | matite e pennarelli]
Quattro cubi trasparenti vengono riempiti per metà di sale e poggiati su altrettanti supporti opportunamente conformati dalla stampante 3D. Scuotendoli, per gravità, il sale si dispone secondo la sezione prevista. Muovendo uno dei cubi è possibile osservare tutte le possibili sezioni che scompongono il cubo in due semicubi. Una volta individuati i quattro casi, questi possono essere disegnati a mano libera su schemi preimpostati,
[Strumenti presenti nello spazio espositivo]
La seconda esperienza prevede l'utilizzo di due strutture appositamente realizzate, di tre cubi in calcestruzzo attraversati da tondini in acciaio inox e di acqua colorata. ll primo strumento consente di visualizzare le diverse sezioni determinate dall'intersezione del pelo dell'acqua con il cubo in cls ottenute per traslazione, il secondo per rotazione,
[Pezzi del gioco ! cubi sezionati]
Recuperiamo alcuni concetti di insiemistica avvalendoci dei diagrammi di Venn. Partiamo da un gruppo di persone che chiamiamo insieme A. Chiamiamo B il sottoinsieme al quale appartiene chi ha gli occhiali. Chiamiamo C il sottoinsieme al quale appartiene chi ha i capelli neri. Una sola persona ha sia i capelli neri che gli occhiali.
Possiamo definire 4 operazioni: B AND C (occhiali e capelli neri), B OR C (occhiali o capelli neri), B NOT C (occhiali ma non capelli neri), C NOT B (capelli neri ma non occhiali).
Lo stesso ragionamento può essere esteso ad un esempio volumetrico come nel caso dell’intersezione tra due parallelepipedi che chiamiamo B e C.
Ritroviamo le stesse 4 operazioni: B AND C (parte di spazio che appartiene a B e a C), B OR C (parte di spazio che appartiene a B o a C), B NOT C (parte di spazio che appartiene a B ma non a C), C NOT B (parte di spazio che appartiene a C ma non a B).
Queste operazioni booleane possono essere applicate a due semicubi (B e C) collocati all’interno di un cubo vuoto (A).
Si ottengono così il solido intersezione (AND), il solido unione (OR), e le due differenze (NOT).
[Pezzi e carte del gioco]
Utilizzando un processo empirico-comparativo sono state individuate 58 diverse possibilità di combinare 4 semicubi 2 alla volta in una tabella 50x4 escludendo i casi che ripetono lo stesso accoppiamento, che prevedono la sovrapposizione dello stesso semicubo (B=C), che richiudono il cubo di partenza (BuC= A) e quelli ottenibili da un caso già individuato attraverso una o più rotazioni,
4M u 4M 1 CASO | 4M u 4V 3 CASI | 4M u 6M 2 CASI | 4M u 2M2V 6 CASI | 4V u 4V 4 CASI | 4V u 6M 4 CASI | 4V u 2M2V 12 CASI | 6M u 6M 2 CASI | 6M u 2M2V 8 CASI | 2M2V u 2M2V 16 CASI.
I casi sono stati ridotti ulteriormente a 23 aggiungendo il complementare bianco al pezzo nero e non considerando le differenze dovute ai colori, ma solo alle forme e quindi alle due sezioni presenti in ogni caso.
I 23 cubi sono i 23 puzzle del board game AND OR NOT.
[Pezzi e carte del gioco | cubi sezionati | schemi | matite, pennarelli e colori]
Per un feedback sull'apprendimento si svolge un'esercitazione grafica. Scelta una carta del gioco si individuano i pezzi corrispondenti escludendo quelli bianchi e si completano i 6 schemi seguendo i diagrammi: si disegnano prima i due semicubi, poi la loro intersezione, Infine i tre pezzi che compongono il puzzle.
[Immagini | Pezzi del gioco]
I risultati delle operazioni attuate esplicitano il concetto platonico dell'idea già racchiusa nel blocco di partenza, il cubo, che, come direbbe Michelangelo, va liberata dal "soverchio" per forza di levare, in questo caso non secondo le intenzioni dell'artista, ma applicando un processo matematico. Le 23 intersezioni costituiscono il repertorio di forme plastiche che si voleva ottenere.
[Pezzi e carte del gioco]
A questo punto è possibile fare delle partite nelle varie modalità proposte con la consapevolezza delle implicazioni geometrico - combinatorie del processo genetico dei puzzle tridimensionali.
