[08/09/2023]  Testo e Risultati dello scritto dell'8 settembre 2023:
  Matricola Voto
  268328                   9 Non ammessa/o all'esame orale
          282463     4 Non ammessa/o all'esame orale
  314280 18 Ammessa/o all'esame orale
  308093   9 Non ammessa/o all'esame orale
      308194 18= Ammessa/o all'esame orale
          309984   6 Non ammessa/o all'esame orale
  282201   18= Ammessa/o all'esame orale

Gli/le studenti/esse ammessi all'esame orale sono pregati ti contattare il docente per concordare una data.   I compiti potranno essere visionati previo appuntamento col docente.

[04/07/2023] Testo e Risultati dello scritto del 4 luglio 2023:
  Matricola Voto
  282463   2 Non ammessa/o all'esame orale
  293226   4 Non ammessa/o all'esame orale
  314280 18 Ammessa/o all'esame orale
  325928   0 Non ammessa/o all'esame orale
      293593   25 Ammessa/o all'esame orale

Gli/le studenti/esse ammessi all'esame orale sono pregati ti contattare il docente per concordare una data (date possibili: 5, 7, 27, 28 luglio mattina/pomeriggio).
I compiti potranno essere visionati previo appuntamento col docente, nei giorni 5-7 luglio, ooppure 27-28 luglio 2023.

[20/06/2023] Testo e Risultati dello scritto del 19 giugno 2023:
  Matricola: 312429 Voto: 20/30
Gli studenti che hanno superato lo scritto (con almeno 18/30), dovranno sostenere l'esame orale entro la fine della sessione (non necessariamente nello stesso appello dell'esame scritto superato) in una data da concordare con il docente. Gli studenti possono partecipare ad entrambi gli esami scritti: la consegna dello scritto al secondo appello, automaticamente annulla il risultato del primo appello.

[23/05/2023]  Date degli esami scritti per la sessione estiva e la sessione autunnale:
- 19/06/23 14-17 aula 11;
- 04/07/23   9-12 aula 1;
- 08/09/23   9-12 aula 29a;
- 26/09/23   9-12 aula 22.
Le date degli esami orali verranno concordate direttamente con il docente.

[23/02/2023]  Sono on-line il testo, le soluzioni ed i risultati della prova scritta del secondo appello (23/02/2023).  I compiti potranno essere visionati durante le prova orale (in alternativa, scrivere al docente per concordare un appuntamento).
Gli studenti ammessi alla prova orale, sono pregati contattare il docente via email il prima possibile per confermare/concordare la data dell'orale.
[02/02/2023]  Sono on-line il testo, le soluzioni ed i risultati della prova scritta del primo appello (01/02/2023). I compiti potranno essere visionati durante la prova orale; in alternativa, scrivere al docente per concordare un appuntamento.
Gli studenti ammessi alla prova orale, sono pregati contattare il docente via email per concordare una data.

[13/01/2023] Si terrà un'esercitazione aggiuntiva il giorno 17.1. 2023 alle ore 11-13, in aula Dal Passo.

[13/01/2023] Sono on-line il Foglio di Esercizi 9 (massimi e minimi vincolati) e le relative soluzioni. 

[12/01/2023].  Date degli scritti degli appelli della sessione di gennaio/febbraio:

Primo appello (scritto):   1 febbraio 2023 ore 10:00      (aula 1)

Secondo appello (scritto):    23 febbraio 2023 ore 10:00     (aula 1)

È attiva la prenotazione tramite Delphi.
Gli studenti che supereranno lo scritto (con almeno 18/30), dovranno sostenere l'esame orale entro la fine della sessione (non necessariamente nello stesso appello dell'esame scritto superato) in una data da concordare con il docente. Gli studenti possono partecipare ad entrambi gli esami scritti: la consegna dello scritto al secondo appello, automaticamente annulla il risultato del primo appello.

[11/01/2023] Sono on-line il Foglio di Esercizi 8 (Teorema della funzione implicita) e le relative  Soluzioni.

[20/12/2022] Sono on-line il Foglio di Esercizi 7 (Forme differenziali) e le relative Soluzioni.

[07/12/2022] Su richiesta degli studenti, la lezione di venerdì 9 dicembre è cancellata. Il docente sarà comunque disponibile nel proprio studio (9-11) per eventuali richieste di chiarimento.

[25/11/2022] Sono on-line il Foglio di Esercizi 6 (Curve ed integrali curvilinei) e le relative Soluzioni.

[25/11/2022] Calendario aggiornato:
- lezione 29/11: cancellata
- lezione aggiuntiva: 5/12 9-11 (Sorrentino)
- lezione aggiuntiva: 6/12 14-16 (Roselli)
- lezione 7/12 14-16 (Sorrentino)

[25/11/2022] Sono on-line il Foglio di Esercizi 5 (Calcolo differenziale per funzioni vettoriali, formula di Taylor e studio dei punti critici) e le relative Soluzioni.

[08/11/2022] Si terranno due lezioni aggiuntive al posto di AL2 i giorni 5/12 (9-11) e 6/12 (14-16).
La lezione di AM3 del 29/11 è cancellata (verrà sostituita da AL2).

[15/11/2022] Sono on-line il Foglio di Esercizi 4 (Continuità, derivabilità e differenziabilità di funzioni di più variabili reali) e le relative Soluzioni.

[06/11/2022] Sono on-line il Foglio di esercizi 3 (serie di funzioni) e le relative Soluzioni.

[24/10/2022] Sono on-line il Foglio di esercizi 2 (Spazi metrici e successioni di funzioni) e le relative Soluzioni.

[19/10/2022] Sono on-line le Soluzioni del Foglio d'esercizi n. 1 sugli spazi metrici.

[12/10/2022] È on-line il  Foglio esercizi 1 (Spazi Metrici).

[3/10/2022] Le lezioni inizieranno venerdì 6 ottobre 2022. 

Spazi metrici, spazi normati e loro proprietà topologiche. Calcolo differenziale per funzioni di più variabili. Successioni e serie di funzioni. Curve ed integrali curvilinei. Forme differenziali lineari. Introduzione alle superfici regolari. Teoremi della funzione implicita e della funzione inversa. Introduzione alla nozione di sottovarietà differenziabile di Rn. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

Per maggiori dettagli, si veda la  Guida didattica 22/23

[07/10/2022] Definizione di metrica su un insieme e proprietà. Esempi: metrica discreta, varie distanze su RN (ad es., distanza euclidea, distanza L1,Lp, L∞ ). Richiami sulla definizione di norma e di spazio normato; metrica indotta da una norma; esempi di spazi normati: norme Lp e L∞ su RN (Disuguaglianza di Young, disuguaglianza di Hölder, disuguaglianza di Minkowski). Richiami sulla definizione di prodotto scalare e disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Norma/metrica indotta da un prodotto scalare (Uguaglianza del parallelogramma e caratterizzazione delle norme indotte da un prodotto scalare). Nozioni di topologia su spazi metrici: intorno sferico di centro xo e raggio r>0 (esempi per varie distanze), punto interno, punto esterno, punto di frontiera. Definizione di insieme aperto e di insieme chiuso (esempi).

[11/10/2022]  Definizione di insieme aperto e di insieme chiuso, e prime proprietà: l'unione di una qualsiasi famiglia di insiemi aperti è un insieme aperto, l'intersezione di una famiglia finita di insiemi aperti è un insieme aperto; l'intersezione di una qualsiasi famiglia di insiemi chiusi è un insieme chiuso, l'unione di una famiglia finita di insiemi chiusi è un insieme chiuso. Definizione di parte interna di un insieme; la parte interna di un insieme è il più grande insieme aperto contenuto nell'insieme. Definizione di punto di accumulazione, di chiusura di un insieme (e caratterizzazione come il più piccolo chiuso che contiene l'insieme), di insieme limitato. Insiemi densi. Topologia relativa di un sottospazio di un insieme metrico. Successione in uno spazio metrico, convergenza e unicità del limite; limitatezza di successioni convergenti. Esempi di convergenza con varie metriche.  Caratterizzazione dei punti di accumulazione,   degli insiemi chiusi e della chiusura di un insieme, attraverso successioni contenute nell'insieme.  Successioni di Cauchy e proprietà. Spazi metrici completi (esempi). Definizione di insieme compatto per successioni ed esempi (metrica discreta e metrica euclidea in R). Insiemi compatti sono chiusi e limitati (controesempi sul viceversa). Teorema di Heine-Borel in RN (gli insiemi compatti sono tutti e soli i chiusi e i limitati). 

[12/10/2022]  Esercitazione: esercizi su spazi metrici presi dal Foglio esercizi 1: es. 1 (a,b,c,d), 4, 7, 8, 11. 

[14/10/2022]  Definizioni  di compattezza attraverso ricoprimenti aperti (equivalenza negli spazi metrici, senza dimostrazione). L'intersezione di una famiglia descrescente di compatti è non vuota. Definizione di continuità in un punto per una funzione tra spazi metrici. Esempi. Definizione di funzione sequenzialmente continua in un punto (attraverso le successioni) e teorema "ponte". Equivalenza tra queste due definizioni e una definizione topologica di continuità in un punto (per ogni intorno aperto  V di f(x_0) esiste un intorno aperto U di x_0 tale che f(U) è contenuto in V). Caratterizzazione topologica di una funzione continua in termini di retroimmagine degli aperti (rispettivamente di chiusi).  La composizione di funzioni continue è  una funzione continua.L'immagine di un insieme compatto attraverso una funzione continua, è ancora un compatto. Corollario: il teorema di Weierstrass per funzioni continue su un compatto a valori in R (ammettono massimo e minimo assoluto). Definizione di uniforme continuità e Teorema di Cantor (le funzioni continue su un compatto, sono uniformemente continue). Definizione di insieme connesso. Un insieme aperto connesso in RN  è connesso per poligonali (dimostrata ad AM2). Le funzioni continue mappano insiemi connessi in insieme connessi. Teorema dei valori intermedi per funzioni continue su un connesso a valori reali. 

[18/10/2022]  Esempio di insieme connesso, ma non connesso per poligonali. Definizione di equivalenza tra metriche; metriche equivalenti inducono la stessa topologia. Equivalenza delle norme in RN (o in uno spazio vettoriale di dimensione finita). Funzioni Lipschitziane e loro continuità. Teorema delle contrazioni ed esempi.
Spazio delle funzioni continue e norma del sup. Introduzione alle successioni di funzioni, alla convergenza puntuale e uniforme. Esempi.

[21/10/2022]  Convergenza puntuale e convergenza uniforme per funzioni tra spazi metrici: definizioni ed  esempi. Convergenza uniforme implica convergenza puntuale. Limite uniforme di funzioni continue è una funzione continua. Teorema di inversione dei limiti. Criterio di Cauchy uniforme. Esempio: lo spazio delle funzioni reali e limitate su uno spazio metrico con la norma del sup ( i.e., convergenza uniforme) ; il sottospazio delle funzioni continue (e limitate) è chiuso e completo (i.e., uno spazio di Banach). 

[25/10/2022]  Teorema di passaggio al limite sotto al segno di integrale (sotto ipotesi di convergenza uniforme). Convergenza uniforme e differenziabilità: esempi e controesempi. Condizioni sufficienti per la differenziabilità della funzione limite. Convergenza uniforme e monotonia (I): teorema del Dini.

[28/10/2022]  Convergenza uniforme e monotonia (II): teorema sul limite di funzioni monotone. Esercizi sulla convergenza di successione di funzioni.
Serie di funzioni: definizione di convergenza puntuale ed uniforme. Esempi. Convergenza uniforme implica convergenza puntuale. Esempio di una serie che convergono puntualmente, ma non uniformemente su un insieme.  Convergenza totale. Legame tra la convergenza totale e la convergenza uniforme (esempio di serie che converge uniformemente su un insieme, ma non totalmente). Se le funzioni sono costanti, la convergenza puntuale/uniforme corrisponde alla convergenza semplice di una serie numerica, mentre la convergenza totale alla convergenza assoluta.

[04/11/2022]  Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme di serie di funzioni. Convergenza totale implica la convergenza uniforme. Continuità della somma di serie di funzioni continue che convergono uniformemente. Teorema di integrazione per serie che convergono uniformente. Teorema di derivazione per serie. Serie di potenze: definizione ed esempi.  Raggio di convergenza: definizione come sup dei punti in cui la serie converge e altra caratterizzazione equivalente. Esempi.

[08/11/2022]  Calcolo del raggio di convergenza attraverso il criterio della radice (Cauchy-Hadamard) o il criterio del rapporto (D'Alembert). Continuità, integrazione e derivazione di serie di potenze. Serie derivata e raggio di convergenza della serie derivata. Una serie di potenze definisce una funzione C∞(-R,R)  (R è il raggio di convergenza). Serie di Taylor, sviluppabilità in serie di Taylor e funzioni analitiche. Esempio di funzione C∞ ma non analitica. Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor (in termini della crescita delle derivate). Esempi di Serie di Taylor/McLaurin notevoli.

[11/11/2022] Teorema di Abel sulle serie di potenze e conseguenze. Teorema di Ascoli-Arzelà. Teorema di Weirstrass sulla densità dei polinomi nello spazio delle funzioni continue su un intervallo [a,b]. 

[15/11/2022]  Ripasso dei concetti di calcolo in più variabile già trattati ad AM2:  Continuità e limiti di una funzione scalare reale in più variabili. Definizione di derivata parziale di una funzione scalare in un punto. Definizione di gradiente di una funzione scalare in un punto. Esempi di calcolo delle derivate parziali. Esempi di non esistenza delle derivate parziali. Derivate direzionali di una funzione in un punto. Esempio di funzione discontinua in un punto, ma che possiede tutte le derivate direzionali in quel punto. Differenziabilità di una funzione scalare. Unicità del differenziale in un punto. Proprietà di una funzione differenziabile: continuità, esistenza di tutte le derivate direzionali, relazione tra differenziale e gradiente, rappresentazione delle derivate direzionali in termini del gradiente.
NOTA: Si suggerisce di rivedere le dimostrazioni dei seguenti argomenti da soli ed eventualmente chiedere chiarimenti). 

[18/11/2022]  Interpretazione geometrica del gradiente in un punto di differenziabilità: iperpiano tangente e direzione ortogonale. Teorema del differenziale totale (dimostrazione fatta ad AM2). Esempio di funzione con derivate parziali in ogni punto (ma non continue nell'origine) e differenziabile nell'origine (per dimostrare che le ipotesi del teorema del differenziale totale, sono solo condizioni sufficienti per garantire la differenziabilità). Stima del modulo della derivata direzionale per funzioni differenziabili: il gradiente indica la direzione di massima variazione. Una funzione con gradiente identicamente nullo in un aperto connesso è costante. Definizione di derivate parziali di secondo ordine e di matrice Hessiana di una funzione derivabile due volte. Derivate di ordine superiore. Lemma di Schwarz (con dimostrazione) ed esempio di funzione in cui le derivate parziali miste (con ordine di derivazione invertito) non coincidono.  

[21/11/2022] Differenziabilità della composizione di funzioni differenziabili e rappresentazione del differenziale in termini del differenziale delle due funzioni. Regola della catena per la derivazione di funzioni composte.  Formula di Taylor per funzioni in più variabili con resto di Lagrange e resto di Peano (ordine 2).

[25/11/2022] Scrittura "compatta" del polinomio di Taylor utilizzando i differenziali di ordine superiore . Esempi di calcolo del polinomio di Taylor ed applicazioni. Definizione di punto di massimo/minimo locale ed esempi. Condizioni necessarie del primo ordine e del secondo ordine per l'esistenza di un massimo/minimo locale. Definizione di punto critico. Esempi di punti critici che non sono né massimo, né minimo (punti di sella). Richiami di algebra lineare su forme bilineari e forme quadratiche, su matrici quadrate definite, semidefinite ed indefinite. Condizioni necessarie del primo ordine e del secondo ordine per l'esistenza di un massimo/minimo locale. Condizioni sufficienti del secondo ordine per la classificazione dei punti critici (in termini della definitezza o indefinitezza della matrice Hessiana nel punto). Discussione del caso di funzioni in 2 variabili (in termini del determinante e della traccia della matrice Hessiana). Esercizi sullo studio dei punti critici di una funzione. 

[02/12/2022]  Esercizio sullo studio dei punti critici di una funzione (caso con determinante dell'Hessiano nullo) e sulla determinazione dei massimi e minimi assoluti di una funzione su una regione compatta con frontiera.
Funzioni definite tramite integrali:  condizioni sufficienti per la continuità e per la differenziabilità (con regola per il calcolo delle derivate/differenziale). Esempi.

[05/12/2022]  Introduzione alle funzioni vettoriali (campi vettoriali): continuità, derivabilità e differenziabilità. Differenziale e matrice Jacobiana. Differenziabilità delle funzioni composte e regola della catena (caso generale). Esercizio sul calcolo dello Jacobiano di funzioni composte. 

[06/12/2022] Definizione di curva (parametrica), sostegno di una curva. Definizione di curva chiusa, curva semplice, curva regolare, curva regolare a tratti. Esempi (segmenti, circonferenze, elica cilindrica, cardioide). Vettore velocità/tangente, retta tangente alla curva in un punto. Curve in forma cartesiana ed in forma polare (relative formule per il vettore tangente). Cambi di parametrizzazioni ammissibili (diffeomorfismi), curve equivalenti. Curve orientate ed orientamento indotto dalla parametrizzazione: parametrizzazioni equiverse e controverse. Lunghezza di una curva e curve rettificabili.  Teorema di rettificabilità di curve C1 (e C1 a tratti) e calcolo della lunghezza in termini dell'integrale della norma del vettore tangente.

[07/12/2022] Calcolo della lunghezza di una curva in forma cartesiana o in coordinate polari; invarianza del calcolo della lunghezza rispetto a cambi di parametrizzazioni ammissibili. Esempio di curva non rettificabile. Definizione di integrali curvilinei, proprietà ed invarianza rispetto a cambi di parametro ammissibili (indipendenza dall'orientamento della curva). Esempio: calcolo del baricentro di una curva con una certa densità di massa. Definizione di curvatura  con segno di una curva piana; raggio di curvatura e cerchio osculatore. 

[13/12/2022] Introduzione alle forme differenziali lineari (o 1-forme differenziali): calcolo del lavoro compiuto da un campo di forze lungo una curva regolare a tratti. Ripasso del concetto di spazio duale di Rn: definizione, dimensione e concetto di base duale (dx1, ... dxn). Definizione di 1-forma differenziale, del suo dominio e della sua regolarità. Esempi: il differenziale di una funzione differenziabile. Parallelo tra 1-forme differenziali e campi vettoriali. Definizione di 1-forma differenziale esatta (e parallelo coi campi vettoriali conservativi): esempi di forme esatte (e calcolo di una primitiva) ed esempio di forme non esatte. Definizione di integrale di una 1-forma differenziale lungo una curva regolare a tratti; proprietà: linearità rispetto alla 1-forma e alla concatenazione di curve, cambio di segno per cambi di orientazione, come cambia rispetto a cambi di parametri ammissibili (cambi equiversi versus cambi controversi). Alcuni esempi.
Forme differenziali esatte: definizione, in un connesso tutte le primitive differiscono per una costante; calcolo dell'integrale di una forma esatta lungo cammini regolari a tratti: è la differenza del valore della primitiva calcolata agli estremi della curva. Caratterizzazione delle forme esatte: l'integrale su ogni curva chiusa è nullo, oppure l'integrale lungo una curva dipende solo dagli estremi della curva e dal verso di percorrenza. Esempi. 

[20/12/2022] (mattina) Definizione di forma differenziale chiusa. Forme differenziali chiuse e campi irrotazionali in R3. Esempio di forma chiusa in R2\{(0,0)}, ma non esatta. Una forma differenziale chiusa in uno stellato è esatta (e rappresentazione della primitiva). Corollario: le forme chiuse sono localmente esatte. Definizione di omotopia tra circuiti in un insieme. Invarianza omotopica dell'integrale di una forma chiusa su cammini chiusi (l'integrale di una forma chiusa su cammini omotopicamente equivalenti è lo stesso (dimostrazione assumendo che omotopia sia di classe C2 e accenno all'idea della dimostrazione generale, approssimando l'omotopia con omotopie regolari).  Definizione di dominio semplicemente connesso (esempi). Teorema: una forma differenziale chiusa su un insieme semplicemente connesso è esatta. 

Alcuni appunti sulle forme differenziali (a cura di G. Gilardi): pdf

[20/12/2022] (pomeriggio) Esercizi del foglio 7 su forme differenziali: es. 1,3,5,8. Indice di avvolgimento di una curva nel piano rispetto ad un punto. Classificazione, a meno di omotopie, dei cammini chiusi in R^2\{(0,0)}. Corollario: una forma chiusa su R^2\{(0,0)} che ha integrale nullo su una circonferenza di centro origine, è esatta.

[23/12/2022] Teorema della funzione implicita: motivazione ed esempi. Dimostrazione del teorema del Dini. Teorema sulla regolarità della funzione implicita ed espressione delle sue derivate parziali. 

[10/01/2023] Teorema della funzione implicita caso generale (per sistemi) e regolarità della funzione implicita. Esempi. Teorema di invertibilità locale e regolarità della funzione inversa.

[13/01/2023] Una funzione invertibile localmente in ogni punto dell'interno di un dominio, mappa punti interni al dominio in punti interni dell'immagine. Accenni al problema dell'invertibilità globale. Condizioni per invertibilità globale (senza dimostrazione).
Punti critici di una funzione vincolati e metodo dei moltiplicatori di Lagrange (enunciato generale e dimostrazione in dimensione 2). Esempi.
Definizione di varietà differenziabile di dimensione k. Esempi. Spazio tangente.

[17/01/2023] Esercitazione di preparazione all'esame scritto.

[30/01/2023] Esercitazione di preparazione all'esame scritto.

• Foglio di esercizi 1 (Spazi Metrici)         Soluzioni 

• Foglio di esercizi 2 (Spazi metrici e successioni di funzioni)       Soluzioni

• Foglio di esercizi 3 (Serie di funzioni)     Soluzioni

• Foglio di Esercizi 4 (Continuità, derivabilità e differenziabilità di funzioni di più variabili reali)       Soluzioni

• Foglio di Esercizi 5 (Calcolo differenziale per funzioni vettoriali, formula di Taylor e punti critici)      Soluzioni

• Foglio di Esercizi 6 (Curve ed integrali curvilinei) Soluzioni

• Foglio di Esercizi 7  (Forme differenziali)         Soluzioni

• Foglio di Esercizi 8  (Teorema della funzione implicita)         Soluzioni

• Foglio di Esercizi 9 (Massimi e minimi vincolati)       Soluzioni