[23/09/2022] Testo della prova scritta del sesto appello (23/09/2022).
Risultati:
295358 voto: 22/30 (Esame orale: 29 settembre a partire ore 10, aula Biblioteca Storica)
282958 voto: 18=/30 (Esame orale: 29 settembre a partire ore 10, aula Biblioteca Storica)
272360 voto: 18=/30 (Esame orale: 27 settembre a partire ore 10, aula Dal Passo)
290984 voto: 10/30 (Non ammessa/o all'esame orale)
I compiti potranno essere visionati durante la prova orale; in alternativa, scrivere al docente per concordare un appuntamento.

[01/09/2022] Testo della prova scritta del quinto appello (01/09/2022).
Risultati:
299878 voto: 26/30 (scrivere per concordare una data per l'esame orale)
282958 voto: 13/30 (non ammessa/o all'esame orale)
295358 voto: 15/30 (non ammessa/o all'esame orale)
271993 voto: 18=/30 (scrivere per concordare una data per l'esame orale)
I compiti potranno essere visionati durante la prova orale; in alternativa, scrivere al docente per concordare un appuntamento.[20/07/2022] Testo della prova scritta del quarto appello (20/07/2022).
Risultati:
0292597 voto: 18=/30 (esame orale il giorno: 22/07/22 ore 10, aula Dal Passo)
I compiti potranno essere visionati durante la prova orale; in alternativa, scrivere al docente per concordare un appuntamento. [01/07/2022] Testo della prova scritta del terzo appello (01/07/2022).
Risultati:
0292248 voto: 22/30 (orale il giorno: 15/07/22 ore 10, aula da determinare)
0292560 voto: 18-/30 (orale il giorno: 18/07/22 ore 10, aula da determinare)
0292597 voto: 14/30 (non ammessa/o all'esame orale)
I compiti potranno essere visionati durante la prova orale; in alternativa, scrivere al docente per concordare un appuntamento. Qualora dovessero esserci problemi con la data o l'orario proposto per l'esame orale, contattare il docente.

[28/02/2022] Gli esami orali si terranno nelle aule:

• martedì 1/3/22 ore 9:00, aula 1200 (vicino aula Dal Passo)

• mercoledì 2/3/22 ore 9-13 e 14-18, aula De Blasi (dopo la porta a vetri, vicino aula D'Antoni)

• giovedì ore 2/3/22 9-13 e 14-18, aula De Blasi (dopo la porta a vetri, vicino aula D'Antoni)

[22/02/2022] Testo, Soluzioni e Risultati della prova scritta del secondo appello (21/02/2022). I compiti potranno essere visionati durante la prova orale; in alternativa, scrivere al docente per concordare un appuntamento.

Gli studenti e le studentesse ammessi/e alla prova orale, sono pregati/e di prenotarsi tramite il seguente link. Possibili opzioni (ogni opzione può essere scelta da al massimo tre persone, in ordine di prenotazione):
- martedì 01/03 9-13
- mercoledì 02/03 9-13
- mercoledì 02/03 14-18
- giovedì 03/03 9-13
- giovedì 03/03 14-18

In caso di problemi o di esigenze particolari, contattare il docente tramite email. Informazioni sulle aule verranno comunicate in seguito.

[06/02/2022] Per visionare i compiti del I appello, scrivere al docente per concordare un appuntamento

[05/02/2022] Testo, Soluzioni e Risultati della prova scritta del primo appello (4/2/2022).
Gli studenti e le studentesse ammessi/e alla prova orale, sono pregati/e di contattare il docente via email per concordare una data.
Si ricorda che la prova orale dovrà essere sostenuta entro la fine della sessione (non necessariamente nello stesso appello dell'esame scritto superato).
Si può partecipare ad entrambi gli esami scritti: la consegna dello scritto al secondo appello, automaticamente annulla il risultato del primo appello.

[28/01/2022] Esercitazione straordinaria ii giorno 31/1/22 alle ore 14 in Aula Dal Passo (Dip. Matematica)

[20/01/2022] Nella sezione Esercizi sono stati caricati il Foglio di Esercizi 9 (relativo al teorema dei moltiplicatori di Lagrange), le Soluzioni del Foglio di Esercizi 8 e le Soluzioni del Foglio di Esercizi 9.

[15/01/2022] Nella sezione Esercizi è stato caricato il Foglio di Esercizi 8 relativo al teorema della funzione implicita

[26/12/2021] Date degli scritti degli appelli della sessione di gennaio/febbraio:
Primo appello (scritto): 4 febbraio 2022 ore 10:00 (aula 1)
Secondo appello (scritto): 21 febbraio 2022 ore 10:00 (aula 1)
È attiva la prenotazione tramite Delphi.
Gli studenti che supereranno lo scritto (con almeno 18/30), dovranno sostenere l'esame orale entro la fine della sessione (non necessariamente nello stesso appello dell'esame scritto superato) in una data da concordare con i docenti. Gli studenti possono partecipare ad entrambi gli esami scritti: la consegna dello scritto al secondo appello, automaticamente annulla il risultato del primo appello.

[26/12/2021] Nella sezione Esercizi sono state caricati il Foglio di esercizi 7 sulle forme differenziali, le Soluzioni del Foglio di esercizi 6 e le Soluzioni del Foglio di esercizi 7.

[05/12/2021] Nella sezione Esercizi sono state caricate le Soluzioni del Foglio di esercizi 5 ed il Foglio di esercizi 6 sulle curve.

[30/11/2021] La lezione di lunedì 6 dicembre è annullata. Si terrà una lezione di recupero giovedì 9 dicembre 14-16 in aula 1.

[27/11/2021] Nella sezione Esercizi è stato caricato il Foglio di esercizi 5 su calcolo differenziale (per funzioni scalari e vettoriali), formula di Taylor e studio dei punti critici.

[22/11/2021] Nella sezione Esercizi sono state caricate le Soluzioni del Foglio di Esercizi 4

[13/11/2021] Nella sezione Esercizi sono state caricate le Soluzioni del Foglio di Esercizi 3

[13/11/2021] Nella sezione Esercizi è stato caricato il Foglio di Esercizi 4 relativo allo studio delle continuità, derivabilità e differenziabilità di funzioni di più variabili reali.

[06/11/2021] Nella sezione Esercizi è stato caricato il Foglio di Esercizi 3 relativo alle serie di funzioni.

[01/11/2021] Nella sezione Esercizi sono state caricate le Soluzioni del Foglio di Esercizi 1 e le Soluzioni del Foglio di Esercizi 2.

[25/10/2021] Nella sezione Esercizi è stato caricato il Foglio di esercizi 2 relativo ad esercizi sugli spazi metrici e alle successioni di funzioni.

[15/10/2021] Nella sezione Esercizi è stato caricato il Foglio di esercizi 1 relativo ad esercizi sugli spazi metrici. Tra qualche settimana verranno pubblicate le soluzioni (alcuni di questi esercizi verranno discussi durante le esercitazioni/lezioni). I quesiti contrassegnati con un * sono meno standard e richiedono un maggiore grado di creatività (non sono da considerarsi essenziali ai fini dell'apprendimento del materiale del corso).

[5/10/2021] Il prof. Roselli comunica che le lezioni di mercolediì 6 e venerdì 8 sono cancellate.

[29/09/2021] Il corso di Analisi Matematica 3 (LT Matematica) inizierà mercoledì 6 ottobre e solo per la prima settimana la lezione del mercoledì si terrà dalle 16 alle 18 in aula 1.

Spazi metrici, spazi normati e loro proprietà topologiche. Calcolo differenziale per funzioni di più variabili. Successioni e serie di funzioni. Curve ed integrali curvilinei. Forme differenziali lineari. Introduzione alle superfici regolari. Teoremi della funzione implicita e della funzione inversa. Introduzione alla nozione di sottovarietà differenziabile di Rn. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

Per maggiori dettagli, si veda la Guida didattica 21/22

[11/10/2021] Definizione di metrica su un insieme e proprietà (Lipschitzianità della distanza). Esempi: metrica discreta, varie distanze su R^N (ad es., distanza euclidea, distanza L¹,L^p, L∞ ). Nozioni di topologia su spazi metrici: intorno sferico di centro xo e raggio r>0, punto interno, punto esterno, punto di frontiera. Definizione di insieme aperto e di insieme chiuso, e prime proprietà: l'unione di una qualsiasi famiglia di insiemi aperti è un insieme aperto, l'intersezione di una famiglia finita di insiemi aperti è un insieme aperto; l'intersezione di una qualsiasi famiglia di insiemi chiusi è un insieme chiuso, l'unione di una famiglia finita di insiemi chiusi è un insieme chiuso. Definizione di parte interna di un insieme; la parte interna di un insieme è il più grande insieme aperto contenuto nell'insieme. Definizione di punto di accumulazione, di chiusura di un insieme (e caratterizzazione come il più piccolo chiuso che contiene l'insieme), di insieme limitato. Insiemi densi e spazi metrici separabili. Topologia relativa di un sottospazio di un insieme metrico. Esempi e caratterizzazione degli insiemi aperti/chiusi nella topologia relativa.Richiami sulla definizione di norma e di spazio normato; metrica indotta da una norma; esempi di spazi normati. Richiami sulla definizione di prodotto scalare e di spazio pre-Hilbertiano. Esempi. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Norma/metrica indotta da un prodotto scalare. Uguaglianza del parallelogramma.

[13/10/2021] Successione in uno spazio metrico, convergenza e unicità del limite; limitatezza di successioni convergenti. Esempi di convergenza con varie metriche. Caratterizzazione dei punti di accumulazione, degli insiemi chiusi e della chiusura di un insieme, attraverso successioni contenute nell'insieme. Metriche equivalenti e convergenza rispetto a metriche equivalenti. Successioni di Cauchy e proprietà. Spazi metrici completi (esempi). Completamento di uno spazio metrico (esercizio guidato, foglio di es. 1). Una successione di Cauchy con una sottosuccessione convergente, è convergente. Definizione di insieme compatto per successioni ed esempi (metrica discreta e metrica euclidea in R). Insiemi compatti sono chiusi e limitati (controesempi sul viceversa). Teorema di Heine-Borel in RN (gli insiemi compatti sono tutti e soli i chiusi e i limitati). Definizioni di compattezza attraverso ricoprimenti aperti (equivalenza negli spazi metrici, senza dimostrazione da vedere a GE3). L'unione finita di compatti è un compatto; gli insiemi finiti sono compatti.

[15/10/2021] L'intersezione di una famiglia descrescente di compatti è non vuota. Definizione di continuità in un punto per una funzione tra spazi metrici. Esempi. Definizione di funzione sequenzialmente continua in un punto (attraverso le successioni) e teorema "ponte". Equivalenza tra queste due definizioni e una definizione topologica di continuità in un punto (per ogni intorno aperto V di f(x_0) esiste un intorno aperto U di x_0 tale che f(U) è contenuto in V). Caratterizzazione topologica di una funzione continua in termini di retroimmagine degli aperti (rispettivamente di chiusi). La composizione di funzioni continue è una funzione continua.L'immagine di un insieme compatto attraverso una funzione continua, è ancora un compatto. Corollario: il teorema di Weierstrass per funzioni continue su un compatto a valori in R (ammettono massimo e minimo assoluto). Equivalenza delle norme in RN . Definizione di uniforme continuità e Teorema di Cantor (le funzioni continue su un compatto, sono uniformemente continue).

[18/10/2021] Funzioni Lipschitziane e loro continuità. Teorema delle contrazioni. Definizione di insieme disconnesso e connesso. Le funzioni continue mappano insiemi connessi in insieme connessi. Teorema dei valori intermedi per funzioni continue su un connesso a valori reali. Definizione di poligonale e di insieme connesso per poligonali. Un insieme aperto connesso in RN è connesso per poligonali. Esempio di insieme connesso, ma non connesso per poligonali.Successioni di funzioni. Convergenza puntuale e convergenza uniforme. Esempi.

[20/10/2021] Convergenza uniforme implica convergenza puntuale. Limite uniforme di funzioni continue è una funzione continua. Teorema di inversione dei limiti. Criterio di Cauchy uniforme. Lo spazio delle funzioni reali continue su uno spazio metrico compatto è uno spazio di Banach con la norma del sup. Teorema di passaggio al limite sotto al segno di integrale (sotto ipotesi di convergenza uniforme).

[22/10/2021] Esercizi vari su spazi metrici (foglio 1) e su convergenza di successioni di funzioni.

[25/10/2021] Convergenza uniforme e differenziabilità: esempi e controesempi. Teoremi di passaggio al limite sotto segno di derivata. Convergenza uniforme e monotonia: teorema del Dini e teorema sul limite di funzioni monotone.

[27/10/2021] Serie di funzioni: definizione di convergenza puntuale ed uniforme. Esempi. Convergenza uniforme implica convergenza puntuale. Esempio di una serie che convergono puntualmente, ma non uniformemente su un insieme. Convergenza totale. Legame tra la convergenza totale e la convergenza uniforme (esempio di serie che converge uniformemente su un insieme, ma non totalmente). Se le funzioni sono costanti, la convergenza puntuale/uniforme corrisponde alla convergenza semplice di una serie numerica, mentre la convergenza totale alla convergenza assoluta. Continuità della somma di serie di funzioni continue che convergono uniformemente. Teorema di integrazione per serie che convergono uniformente. Teorema di derivazione per serie.

[03/11/2021] Serie di potenze: definizione ed esempi. Raggio di convergenza: definizione come sup dei punti in cui la serie converge e altra caratterizzazione equivalente. Calcolo del raggio di convergenza attraverso il criterio della radice (Cauchy-Hadamard) o il criterio del rapporto (D'Alembert). Continuità, integrazione e derivazione di serie di potenze. Serie derivata e raggio di convergenza della serie derivata. Una serie di potenze definisce una funzione C∞(-R,R) (R è il raggio di convergenza). Serie di Taylor, sviluppabilità in serie di Taylor e funzioni analitiche. Esempio di funzione C∞ ma non analitica. Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor (in termini della crescita delle derivate).

[08/11/2021] Esempi di Serie di Taylor/McLaurin notevoli. Teorema di Abel sulle serie di potenze e conseguenze. Teorema di Ascoli-Arzelà.

[10/11/2021] Teorema di Weirstrass sulla densità dei polinomi nello spazio delle funzioni continue su un intervallo [a,b].
Ripasso dei concetti di calcolo in più variabile già trattati ad AM2:
Continuità e limiti di una funzione scalare reale in più variabili. Definizione di derivata parziale di una funzione scalare in un punto. Definizione di gradiente di una funzione scalare in un punto. Esempi di calcolo delle derivate parziali. Esempi di non esistenza delle derivate parziali. Derivate direzionali di una funzione in un punto. Esempio di funzione discontinua in un punto, ma che possiede tutte le derivate direzionali in quel punto. Differenziabilità di una funzione scalare. Unicità del differenziale in un punto. Proprietà di una funzione differenziabile: continuità, esistenza di tutte le derivate direzionali, relazione tra differenziale e gradiente, rappresentazione delle derivate direzionali in termini del gradiente. Interpretazione geometrica del gradiente in un punto di differenziabilità: iperpiano tangente e direzione ortogonale.
Teorema del differenziale totale. Esempio di funzione con derivate parziali in ogni punto (ma non continue nell'origine) e differenziabile nell'origine (per dimostrare che le ipotesi del teorema del differenziale totale, sono solo condizioni sufficienti per garantire la differenziabilità).
NOTA: Si suggerisce di rivedere le dimostrazioni dei seguenti argomenti da soli ed eventualmente chiedere chiarimenti).

[15/11/2021] Ripasso dei concetti di calcolo in più variabile già trattati ad AM2:
Stima del modulo della derivata direzionale per funzioni differenziabili: il gradiente indica la direzione di massima variazione. Definizione di derivate parziali di secondo ordine e di matrice Hessiana di una funzione derivabile due volte. Derivate di ordine superiore. Lemma di Schwarz ed esempio di funzione in cui le derivate parziali miste (con ordine di derivazione invertito) non coincidono. Differenziabilità della composizione di funzioni differenziabili e rappresentazione del differenziale in termini del differenziale delle due funzioni. Regola della catena per la derivazione di funzioni composte.
NOTA: Si suggerisce di rivedere le dimostrazioni dei seguenti argomenti da soli ed eventualmente chiedere chiarimenti).
Una funzione con gradiente identicamente nullo in un aperto connesso è costante. Derivate di ordine superiore, definizione di funzioni C^k e C^∞. Differenziali di ordine superiore.

[17/11/2021] Interpretazione geometrica del gradiente in un punto di differenziabilità: iperpiano tangente e direzione ortogonale. Formula di Taylor per funzioni in più variabili con resto di Lagrange e resto di Peano. Scrittura "compatta" del polinomio di Taylor utilizzando i differenziali di ordine superiore. Esempi di calcolo del polinomio di Taylor ed applicazioni.
Definizione di punto di massimo/minimo locale ed esempi. Condizioni necessarie del primo ordine e del secondo ordine per l'esistenza di un massimo/minimo locale. Definizione di punto critico. Esempi di punti critici che non sono né massimo, né minimo (punti di sella).

[22/11/2021] Richiami di algebra lineare su forme bilineari e forme quadratiche, su matrici quadrate definite, semidefinite ed indefinite. Condizioni necessarie del primo ordine e del secondo ordine per l'esistenza di un massimo/minimo locale. Condizioni sufficienti del secondo ordine per la classificazione dei punti critici (in termini della definitezza o indefinitezza della matrice Hessiana nel punto). Discussione del caso di funzioni in 2 variabili (in termini del determinante e della traccia della matrice Hessiana). Esercizi sullo studio dei punti critici di una funzione.

[24/11/2021] Esercizio/esempio relativo alla determinazione dei massimi e minimi assoluti di una funzione su una regione compatta con frontiera.
Funzioni definite tramite integrali: condizioni sufficienti per la continuità e per la differenziabilità (con regola per il calcolo delle derivate/differenziale).
Introduzione alle funzioni vettoriali (campi vettoriali): continuità, derivabilità e differenziabilità. Differenziale e matrice Jacobiana.

[29/11/2021] Differenziabilità delle funzioni composte (caso generale). Regola della catena. Esercizio sul calcolo dello Jacobiano di funzioni composte.
Definizione di curva (parametrica), sostegno di una curva. Definizione di curva chiusa, curva semplice. Esempi. Definizione di curva, equazioni parametriche di una curva, sostegno di una curva. Definizione di curva chiusa, curva semplice, curva regolare, curva regolare a tratti. Esempi (segmenti, circonferenze, elica cilindrica, cardioide). Vettore velocità/tangente, retta tangente alla curva in un punto. Curve in forma cartesiana ed in forma polare (relative formule per il vettore tangente).

[01/12/2021] Cambi di parametrizzazioni ammissibili (diffeomorfismi), curve equivalenti. Curve orientate ed orientamento indotto dalla parametrizzazione: parametrizzazioni equiverse e controverse.Lunghezza di una curva e curve rettificabili. Teorema di rettificabilità di curve C¹ (e C¹ a tratti) e calcolo della lunghezza in termini dell'integrale della norma del vettore tangente. Calcolo della lunghezza di una curva in forma cartesiana o in coordinate polari; invarianza del calcolo della lunghezza rispetto a cambi di parametrizzazioni ammissibili. Esempio di curva non rettificabile.

[09/12/2021] Definizione di integrali curvilinei, proprietà ed invarianza rispetto a cambi di parametro ammissibili (indipendenza dall'orientamento della curva). Esempi.
Ascissa curvilinea: definizione, relazione con la lunghezza di un arco di curva e proprietà (il vettore velocità ha norma 1 e il vettore accelerazione è normale alla curva). Calcolo del baricentro di una curva con una certa densità di massa, calcolo della "massa" totale di una curva, calcolo del momento di inerzia rispetto ad un punto o ad un asse.
Definizione di curvatura con segno di una curva piana, significato geometrico e calcolo in termini della parametrizzazione naturale (lunghezza d'arco) o una qualsiasi parametrizzazione (si veda anche esercizio nel foglio di esercizi 6, in cui si discute anche il caso in dimensione 3). Raggio di curvatura e cerchio osculatore.

[13/12/2021] Introduzione alle forme differenziali lineari (o 1-forme differenziali): calcolo del lavoro compiuto da un campo di forze lungo una curva regolare a tratti. Ripasso del concetto di spazio duale di Rⁿ: definizione, dimensione e concetto di base duale (dx₁, ... dx_n). Definizione di 1-forma differenziale, del suo dominio e della sua regolarità. Esempi: il differenziale di una funzione differenziabile. Parallelo tra 1-forme differenziali e campi vettoriali. Definizione di 1-forma differenziale esatta (e parallelo coi campi vettoriali conservativi): esempi di forme esatte (e calcolo di una primitiva) ed esempio di forme non esatte.
Definizione di integrale di una 1-forma differenziale lungo una curva regolare a tratti; proprietà: linearità rispetto alla 1-forma e alla concatenazione di curve, cambio di segno per cambi di orientazione, come cambia rispetto a cambi di parametri ammissibili (cambi equiversi versus cambi controversi). Alcuni esempi.

[15/12/2021] Forme differenziali esatte: definizione, in un connesso tutte le primitive differiscono per una costante; calcolo dell'integrale di una forma esatta lungo cammini regolari a tratti: è la differenza del valore della primitiva calcolata agli estremi della curva. Caratterizzazione delle forme esatte: l'integrale su ogni curva chiusa è nullo, oppure l'integrale lungo una curva dipende solo dagli estremi della curva e dal verso di percorrenza. Esempi. Definizione di forma differenziale chiusa. Forme differenziali chiuse e campi irrotazionali in R³. Esempio di forma chiusa in R²\{(0,0)}, ma non esatta.

[20/12/2021] Una forma differenziale chiusa in uno stellato è esatta (e rappresentazione della primitiva). Corollario: le forme chiuse sono localmente esatte. Definizione di omotopia tra circuiti in un insieme, di circuiti contraibili e di insiemi semplicemente connessi.
Invarianza omotopica dell'integrale di una forma chiusa su cammini chiusi (l'integrale di una forma chiusa su cammini omotopicamente equivalenti è lo stesso: dimostrazione assumendo che omotopia fosse ci classe C² e accenno all'idea della dimostrazione generale, approssimando l'omotopia con omotopie regolari). Teorema: una forma differenziale chiusa su un insieme semplicemente connesso è esatta. Accenno all'indice di avvolgimento di una curva nel piano rispetto all'origine (o un qualsiasi punto).

Alcuni appunti sulle forme differenziali (a cura di G. Gilardi): pdf

[22/12/2021] Esercizi sulle forme differenziali. Classificazione, a meno di omotopie, dei cammini chiusi in R^2\{(0,0)}.

[10/01/2022] Teorema della funzione implicita: motivazione ed esempi. Dimostrazione del teorema del Dini. Teorema sulla regolarità della funzione implicita ed espressione delle sue derivate parziali.

[12/01/2022] Curve regolari in dim 2 scritte in forma implicita ed espressione della retta tangente in un punto. Teorema del Dini per sistemi e regolarità della funzione implicita. Esempi.

[17/01/2022] Teorema di invertibilità locale e regolarità della funzione inversa. Esempi. Una funzione invertibile localmente in ogni punto dell'interno di un dominio, mappa punti interni al dominio in punti interni dell'immagine. Accenni al problema dell'invertibilità globale. Teorema di invertibilità globale (senza dimostrazione).

[19/01/2022] Punti critici di una funzione vincolati e metodo dei moltiplicatori di Lagrange (enunciato generale e dimostrazione in dimensione 2). Esempi.

[25/01/2022] Esercizi riepilogativi di preparazione alla prova scritta.

[31/01/2022] Esercizi riepilogativi di preparazione alla prova scritta.

• Foglio di esercizi 1 (Spazi metrici I) - Soluzioni

• Foglio di esercizi 2 (Spazi metrici II e successioni di funzioni) - Soluzioni

• Foglio di Esercizi 3 (Serie di funzioni) - Soluzioni

• Foglio di Esercizi 4 (Continuità, derivabilità e differenziabilità di funzioni di più variabili reali) - Soluzioni

• Foglio di esercizi 5 (Calcolo differenziale, formula di Taylor e studio dei punti critici) - Soluzioni

• Foglio di Esercizi 6 (Curve) - Soluzioni

• Foglio di esercizi 7 (Forme differenziali) - Soluzioni

• Foglio di Esercizi 8. (Teorema funzioni implicite) - Soluzioni

• Foglio di Esercizi 9 (Teorema dei moltiplicatori di Lagrange) - Soluzioni