Árboles Red Black

ARBOLES RED BLACK:

un árbol rojo-negro es una especie de árbol de búsqueda binario autoequilibrado. Cada nodo almacena un bit adicional que representa el "color", que se utiliza para garantizar que el árbol permanezca equilibrado durante las inserciones y eliminaciones.

OPERACIONES:

insercion:

La inserción comienza añadiendo el nodo como lo haríamos en un árbol binario de búsqueda convencional y pintándolo de rojo. Lo que sucede después depende del color de otros nodos cercanos. El término tío nodo será usado para referenciar al hermano del padre de un nodo, como en los árboles familiares humanos. Conviene notar que:

La propiedad 3 (Todas las hojas nulas, son negras) siempre se cumple.

La propiedad 4 (Ambos hijos de cada nodo rojo son negros) está amenazada solo por añadir un nodo rojo, por repintar un nodo negro de color rojo o por una rotación.

La propiedad 5 (Todos los caminos desde un nodo dado hasta sus nodos hojas contiene el mismo número de nodos negros) está amenazada solo por repintar un nodo negro de color rojo o por una rotación.

Al contrario de lo que sucede en otros árboles como puede ser el Árbol AVL, en cada inserción se realiza un máximo de una rotación, ya sea simple o doble. Por otra parte, se asegura un tiempo de recoloración máximo de O(log _{2}n) por cada inserción.

Nota: En los esquemas que acompañan a los algoritmos, la etiqueta N será utilizada por el nodo que está siendo insertado, P para los padres del nodo N, G para los abuelos del nodo N, y U para los tíos del nodo N. Notamos que los roles y etiquetas de los nodos están intercambiados entre algunos casos, pero en cada caso, toda etiqueta continúa representando el mismo nodo que representaba al comienzo del caso. Cualquier color mostrado en el diagrama está o bien supuesto en el caso o implicado por dichas suposiciones.

ELIMINACION:

En un árbol binario de búsqueda normal, cuando se borra un nodo con dos nodos internos como hijos, tomamos el máximo elemento del subárbol izquierdo o el mínimo del subárbol derecho, y movemos su valor al nodo que es borrado (como se muestra aquí). Borramos entonces el nodo del que copiábamos el valor que debe tener menos de dos nodos no hojas por hijos. Copiar un valor no viola ninguna de las propiedades rojo-negro y reduce el problema de borrar en general al de borrar un nodo con como mucho un hijo no hoja. No importa si este nodo es el nodo que queríamos originalmente borrar o el nodo del que copiamos el valor.

BUSQUEDA:

La búsqueda consiste acceder a la raíz del árbol y comparar su valor con el valor buscado. Si el elemento a localizar coincide con el de la raíz, la búsqueda ha concluido con éxito. Si el elemento es menor, se busca en el subárbol izquierdo; si es mayor, en el derecho. Si se alcanza un nodo hoja y el elemento no ha sido encontrado se supone que no existe en el árbol. Cabe destacar que la búsqueda en este tipo de árboles es muy eficiente y representa una función logarítmica. La búsqueda de un elemento en un ABB (Árbol Binario de Búsqueda) en general, y en un árbol rojo-negro en particular, se puede realizar de dos formas: iterativa y recursiva.