En esta charla describiremos brevemente el formalismo del cálculo fraccionario en el sentido de Caputo y su interpretación como índice de memoria del sistema. Estableceremos dos ejemplos de modelos que describen actividad neuronal bajo este formalismo. En el primer ejemplo se modelará la transición de un estado saludable de baja actividad a un estado patológico de alta actividad que ocurre en la corteza disinhibida, similar a lo que sucede en pacientes epilépticos. En el segundo ejemplo se analizará la propagación de frentes de alta actividad en poblaciones neuronales. Este segundo ejemplo es motivado por la existencia de patrones espacio-temporales de actividad que han sido observados en grabaciones clínicas de actividad cerebral en diversas situaciones. En ambos ejemplos se analizará el efecto del orden fraccionario en la dinámica del sistema.

El dengue es una enfermedad viral transmitida por el mosquito hembra de la especie Aedes Aegypti. Para estudiar la dinámica de la transmisión de la enfermedad se han propuesto modelos matemáticos mediante ecuaciones diferenciales para describir los mecanismos implicados entre los hospederos y los vectores. De acuerdo con la literatura, un factor relevante en la transmisión del virus es la edad de los hospederos. Proponemos un modelo matemático en ecuaciones diferenciales ordinarias donde se consideran dos grupos etarios.

Como parte del estudio se realiza un análisis de sensibilidad local para observar la influencia de los parámetros del modelo en el número reproductivo básico. Esto permitiría conocer sobre cuales parámetros se debe tener mayor control para evitar un brote de la pandemia. Se realiza la estimación bayesiana de algunos de sus parámetros haciendo uso de datos simulados y distribuciones a priori no informativas.

Los operadores lineales definidos sobre espacios normados de dimensión finita son siempre acotados y ello es equivalente a que sean continuos. Cuando el espacio donde estos operadores están definidos es de dimensión infinita existen operadores lineales no acotados. A pesar de no ser continuos, los operadores no acotados juegan un papel fundamental dentro de las aplicaciones del Análisis Funcional. En esta plática veremos algunas de las propiedades más importantes de este tipo de operadores y daremos una pequeña introducción a los operadores de Toeplitz no acotados.

La optimización consiste en un conjunto de resultados y métodos numéricos dirigidos a encontrar la mejor solución entre un conjunto de alternativas sin necesidad de evaluarlas todas. En términos muy generales, optimizar significa decidir.

La optimización está presente en nuestra vida diaria. Por ejemplo, si queremos ir de un punto A hacia un punto B buscamos aquella ruta que involucre el menor tiempo de traslado o aquella con menos carga vehicular. Implícitamente podemos ver algunos elementos que interactúan en el problema; las variables del problema, una función que involucra esas variables así como un conjunto de restricciones que deben cumplir dichas variables. En esta charla, vamos a ver cómo el cálculo fraccionario nos ayuda a tomar una mejor decisión. Presentaremos algunas propuestas de algoritmos de optimización con enfoque fraccionario así como la generalización de un algoritmo de optimización con base en gradiente para buscar los parámetros de un modelo fraccionario que nos permitan describir los comportamientos experimentales de un circuito RC, adquiridos en laboratorio.