福来魚 　fukuragi

東京大学　２０１８年　理科　第６問

＜考え方＞

　全体として、とても辛い問題です。

（１），（２）が大変難しいです。（３）は（１），（２）を求められていなくても解けてしまいます。

（４）は、（１），（２）が求まれば後は計算するだけなのですが。

（１）半径ｒ＞１／２のため、Ｖ１とＶ３は共通部分を持ちます。

　ｙ＝ｔでの切り口は、１ーｒ＜ｔ≦１／２と、１／２≦ｔ＜ｒで場合分けが必要です。（難）

（２）ｙ＝ｔでの断面で、（１）の共通部分が、Ｖ２断面の半径ｒの円内部に入る条件を図で考えます。（難）

（３）Ｓは、円柱と球の高さで一瞬で求まります。（部分点は、もらえるのでしょうか？）Ｖ２，Ｖ３の体積もＳです。Ｖ１とＶ２の共通部分の体積Ｔは（４）で計算します。Ｖ２とＶ３の共通部分の体積もＴです。求めたいＶ１，Ｖ２，Ｖ３を合わせた立体Ｖの体積は、

　（Ｖの体積）＝３Ｓ ー ２Ｔ ー （Ｖ１∩Ｖ３の体積）＋（Ｖ１∩Ｖ２∩Ｖ３の体積）

ですが、（２）が布石となっており、（Ｖ１∩Ｖ２∩Ｖ３の体積）＝（Ｖ１∩Ｖ３の体積）が成り立つので、

　（Ｖの体積）＝３Ｓー２Ｔ

が成り立ちます。（答）

（４）Ｔを求める際の断面（ｙ＝ｔ）は、円と正方形を合わせた図形ですが、（１），（２）からたどり着くまでが大変。