福来魚 　fukuragi

東京大学　２０２３年　理科　第６問

＜考え方＞

（１）点Pは上面に膨らむ（原点O中心、半径√３の球面）のみではなく、立方体（箱S）の斜め横にもはみ出ます。

　平面ｚ＝±ｘ，ｚ＝±ｙが境界となります。

　立方体の体積は自明です。上部（ｚ≧１）についても、ｘ，ｙに対称性はありますが、ｚ軸に垂直な断面の面積は難しいので、ｘ軸に垂直な方向の断面を考える方が無難でしょうか。

　以下、ｚ≧１の部分の体積を考えます。

　上方向には、４面それぞれに４５°ずつ「はみ出し」ます。「はみ出し（４か所）」部分をＨとします。

①半径√３の球体のｚ≧１の部分の体積を積分で計算します。この体積は、求めたい上部の体積より、「はみ出し」部分の体積Ｈだけ大きくなります。

②ｘ軸に垂直な方向での断面をー１≦ｘ≦１の範囲で考えます。半径√（３－ｘ＾２）の扇型の面積をー１≦ｘ≦１で積分したものから、立方体との共通部分である三角柱の体積を引くと求まります。この体積は、４か所の「はみ出し部分」の内、２か所を含んでいませんので、求めたい上部の体積より、Ｈ／２だけ小さくなります。

　①―②を計算すると、３Ｈ／２の値が求まるので、Ｈを求めることができます。

　最後に①からＨを引くと、求めたいZ≧１の体積を計算することができます。

（２）点Ｎは、（１）の点Ｐと同様に動きます。さらにＮ（ＯＮの先端）から、点ＰをＳに気を付けながら動かすことになります。

　ｘ＝ｔ（―１≦ｘ≦１）の断面を考えます。Ｎが立方体の上辺にいるときに、（半径）NＰ、中心角１３５°の扇型の分だけ「はみ出す」ことができます。（この部分が、（１）のＶと（２）のＷの差になります。）あとは、断面積を積分します。

追記：（１）は積分しなくても計算できるようです。

　予備校の先生の解説を参考にしました。

（１）の体積は、球の体積から立方体の体積を引いて、６で割ると求まります。球体、見えなかった。すごいですね。中学生の問題でした。

くやしいので、分解、制作してみた。