福来魚 fukuragi
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大阪大学 ２０２１年 理系 第２問
大阪大学 ２０２１年 理系 第２問
※先日、研修会にて、「空間におけるメネラウスの定理」をご教授いただきました。
すごいな。深い。問題を解いているときに気づけなかった。
（OA0／A0A）×（AP／PC）×（CQ／QB）×（BB0／B0O）＝１
２つの平面でメネラウスの定理を用いて、導いた式を合わせると、作れます。
＜空間におけるメネラウスの定理の証明＞
※大阪大学２０２１年の問題と、点の取り方が異なります。
空間におけるメネラウスの定理.pdf＜メネラウスの定理の逆の証明＞さらに、別の研修会で、メネラウスの定理の逆は成り立つのか？
という質問をいただきました。自分なりの考察です。
空間におけるメネラウスの定理の逆①.pdf空間におけるメネラウスの定理の逆②.pdf
空間内に、同一平面上にない４点O、A、B、Cがある。
さらに、次の４点A0、B0、P、Qが同一平面上にある。
A0：線分OAの中点
B0：線分OBを１：２に内分する点
Ｐ：線分ACをｓ：１－ｓに内分する点 （０＜ｓ＜１）
Ｑ：線分BCをｔ：１ーｔに内分する点 （０＜ｔ＜１）
(1) ｔをｓを用いて表せ。
(2) OA=1、OB=OC＝２、∠AOB＝１２０°、∠BOC=９０°、∠COA=６０°とする。
∠POQ＝９０°のとき、ｓの値を求めよ。
＜問題の考え方＞
４点の座標をO(0,0,0)、A(1,0,0)、B(-1,√３,0）、C(1,√3/3,√3/3) ととりました。座標を与えずに位置ベクトルのまま処理することもできます。手前の都合ですが、座標を考える方が大変です。
(1)１点１点、丁寧に位置ベクトルを用いて表していくと、sとtの関係式を導くことができます。計算は手間、時間がかかります。
(2)内積計算です。頑張りましょう。
＜作品＞
（２）のサイズで設計しました。合わせると四面体になりますが、とても平べったい。
空間のメネラウスの定理の証明にパーツ（黄）を追加しました。
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