福来魚 　fukuragi

＜問題の考え方＞

(1)　PQとRSをベクトルの成分表示すれば、平行であることから同一平面上にあることがわかります。

(2)　L,Mの座標をそれぞれs,tを用いて表し、２点間の距離をs,tで表します。s+t=uとおくと、uの２次関数として最小値 m（=2√3/3）が求められます。

(3)　線分ＡＢ，ＣＤとの交点をそれぞれＴ，Ｕとおきます。断面は六角形となります。六角形PQURSTは、ＬＭ＝ｍが高さ、線分ＰＳ，線分ＱＲで合同な三角形２つと台形ＰＱＲＳに分割すると、ＰＱ＝ｓ，ＲＳ＝ｔより、ＰＱ＋ＲＳ＝２／３（一定）であるから、台形ＰＱＲＳの面積も一定となります。ＴＵ＝√２（一定）であることから、三角形の面積が最大になるのは、ｓ＝ｔ＝１／３で、ＰＱＲＳが長方形になるときであることがわかります。このとき、ＰＱＵＲＳＴは正六角形となります。