福来魚 　fukuragi

大阪大学　２０１８年　別解

　我が家の小学生の娘には、難しかったようですが、平方根以外は小学生の知識で問題を考えてみたいと思います。

①正八面体は正反三角柱である。

　△FCDを底面、△ABCを上面とした正反三角柱として考えます。

　※以前、正ｎ反角柱の水平方向の断面は、等周断面（２ｎ角形）であることを紹介しました。

今回の平面ＰＱＲＳでの断面は、正反三角柱を縦に切断するイメージです。

②ＬＭの最小値は正反三角柱の高さである。

　正反三角柱の底面、上面において、ＲＳ、ＲＳは、それぞれＣＤ、ＢＣと平行です。

　Ｌ、Ｍはそれぞれ各面でＡ、Ｆからの中線上にあります。対称性から、平面ＰＱＲＳが底面、上面に垂直のとき、ＬＭは最小値をとることがわかります。（つまり、ＬＭが正反三角柱の高さとなります。）

　（正反三角柱を上から見ると（正射影）正六角形となります。対称性、正三角形の辺の比から、１／３の割合も考えることができます。）

③断面（六角形）の面積の最小値は正六角形になるときである。

　※断面の六角形は（多分、）等周断面ではありません。等周断面であれば、正六角形が最大値となる定理もあったのですが。

　六角形PQURSTを線分ＰＳ，線分ＱＲで合同な三角形２つと台形ＰＱＲＳに分割すると、ＰＱ＝ｓ，ＲＳ＝ｔより、ＰＱ＋ＲＳ＝２／３（一定）であることが、（ベクトルなしで、）相似比からいえます。つまり、台形の面積はｓ，ｔによらず一定です。

　両側の三角形の面積の最大値は、ＴＵで上下２つに分割し、「ＴＵ上の底辺」とすると、高さは上下合わせて一定（＝ＬＭ）になるので、「ＴＵ上の底辺」が最大となるとき、面積が最大となることがわかります。これは、中央の台形の上辺ＰＱと底辺ＲＳが等しいときとなり、結果、ＰＱＲＳが長方形となります。

　以上より、断面が正六角形のとき面積が最大であることがいえました。