Daftar Isi
Perhatikan gambar - gambar berikut !
Gambar 2.1 Layang - layang elang
Gambar 2.2 Layang - layang gapangan
Gambar 2.3 Layang - layang naga
Pernahkah kamu bermain layang - layang? Jenis layang - layang mana yang pernah kamu mainkan?
Saat layang - layang terbang Anda merasakan adanya tarikan dari layang - layang tersebut. Bahkan jika layang - layangnya berukuran besar, orang yang bermain ikut terangkat. Mengapa demikian? silahkan menyimak penjelasan berikut
Gambar 2.4 Proses penerbangan layang-layang
Pergerakan layang-layang di udara adalah hasil dari gaya yang diterapkan pada layang-layang. Layang-layang merespons gaya-gaya ini sesuai dengan hukum gerak Newton.
Layang-layang mengalami gaya angkat, yang tercipta ketika layang-layang membelokkan udara (angin) yang bergerak ke bawah. Hukum Newton mengatakan bahwa perubahan momentum angin ini menghasilkan gaya ke atas pada layang-layang. Hal ini seperti bola tenis yang mengerahkan gaya pada dinding saat memantul dari dinding dan mengubah arahnya. Angin diarahkan oleh layang-layang sehingga memberikan daya angkat pada layang-layang.
Selain itu, udara yang bergerak di atas layang-layang bergerak lebih cepat daripada udara di bawahnya, sehingga menciptakan perbedaan tekanan. Udara yang bergerak cepat menciptakan lebih sedikit tekanan di atas layang-layang, sehingga layang-layang dipaksa atau terangkat ke atas. Karena layang-layang diikatkan pada tali, penerbang layang - layang bisa merasakan gaya yang menarik tali
Gambar 2.5 Diagram benda bebas pada layang - layang
Keterangan :
FL = Gaya angkat
FD = Gaya hambat
WLL = Gaya berat layang - layang
Tf = Gaya tegangan tali
Terdapat 4 gaya yang menyebabkan benda terbang. Gaya - gaya ini mempengaruhi baik layang - layang, pesawat, apapun yang bisa terbang. Empat gaya ini yaitu :
Gaya angkat (lift)
Gaya angkat adalah gaya dengan arah ke atas (tegak lurus dengan arah alirah fluida yang datang) yang mendorong layang - layang ke udara. Gaya angkat dihasilkan oleh perbedaan tekanan udara, yang berasal dari udara yang bergerak di atas layang-layang. Layang-layang dibentuk dan dimiringkan sedemikian rupa sehingga udara yang bergerak di atas layang - layang bergerak lebih cepat daripada udara yang bergerak di bagian bawah layang - layang.
Daniel Bernoulli (ahli matematika dari Swiss abad ke-18) menemukan bahwa tekanan fluida (contohnya udara) berkurang ketika fluida tersebut bertambah cepat. Karena kecepatan udara di atas layang-layang lebih besar daripada kecepatan udara di bawahnya, maka tekanan di atas akan lebih kecil daripada tekanan di bawahnya dan layang-layang akan terdorong ke udara dan terangkat.
Gaya berat (weight)
Gaya berat adalah gaya dengan arah ke pusat bumi yang dihasilkan oleh tarikan gravitasi bumi pada layang-layang.
Gaya dorong (thrust)
Gaya dorong adalah gaya ke depan yang mendorong layang-layang ke arah gerak. Misalnya pada pesawat terbang menghasilkan daya dorong dengan mesinnya. Sedangkan layang-layang harus bergantung pada tegangan tali dan udara bergerak yang ditimbulkan oleh angin atau gerakan maju penerbang layang-layang untuk menghasilkan daya dorong.
Gaya hambat (drag)
Gaya hambat adalah gaya yang berlawanan arah dengan gaya dorong. Gaya hambat disebabkan oleh dua hal yaitu :
a. Perbedaan tekanan udara antara bagian depan dengan belakang layang-layang
b. Gesekan udara yang bergerak di atas permukaan layang-layang.
Untuk meluncurkan layang-layang ke udara, gaya angkat harus lebih besar dari gaya berat. Supaya layang-layang tetap terbang dengan stabil, keempat gaya tersebut harus seimbang. Gaya angkat harus sama dengan gaya berat dan gaya dorong harus sama dengan gaya hambat.
Setelah kita memahami bagaimana proses layang - layang dapat terbang, ternyata layang-layang bisa dianalisis secara fisika.
Mari kita analisis tentang angin pada layang - layang.
Pertama kita asumsikan partikel - partikel yang menumbuk sebuah tembok. Seperti yang kita ketahui pada teori kinetik gas, udara terdiri dari banyak partikel.
Gambar 2.6 pergerakan partikel - partikel gas pada sebuah bidang tembok
Gaya yang dialami yaitu
Gambar 2.7 pergerakan gas pada sebuah bidang dengan luas area
Untuk layang - layang yang permukannya lentur akan ada koefisien k < 1, sehingga :
Biasanya nilai k ini diganti dengan koefisien angkat CL =1/4 k , sehingga :
Persamaan Koefisien Angkat
Gambar 2.8 Diagram gaya pada layang-layang yang terbang
Dapat dilihat pada diagram benda bebas pada layang - layang simbol F mewakilkan gaya aerodinamis yang bekerja pada layang - layang. Gaya aerodinamis terbagi menjadi dua yaitu gaya angkat (lift force) FL yang tegak lurus terhadap angin dan gaya hambat (drag force) FD yang searah dengan arah angin. WLL sebagai gaya berat layang - layang.
Berikut adalah diagram gaya saat kita memainkan permainan layang-layang
Gambar 2.9 Diagram gaya pada layang-layang dan tali
lT = panjang tali ( m )
ρT = massa jenis tali ( kg/m2 )
Persamaan Gaya Angkat Layang - layang
FL = Gaya angkat ( N )
CL = Koefisien angkat (0.8)
A = Luas layang-layang ( m2 )
ρ = Massa jenis udara ( 1.2 kg/m2 )
v = Kecepatan angin ( m/s2)
Hal ini terkait dengan fakta bahwa setiap benda bermassa selalu mempunyai kecenderungan untuk menempati posisi dan energi potensial yang minim. Fakta ini dikenal sebagai prinsip variasi contohnya energi potensial pada benang layang-layang yang melengkung merupakan salah satu akibat dari berlakunya prinsip ini, yakni selemah energi dari benang selalu ‘berusaha’ menempati posisi paling rendah. Termasuk bagian infinitesimal seperti pada gambar berikut,
Gambar 2.10. Diagram gaya pada layang-layang dan tali
Gambar 11 Tinjauan elemen dl
Kita akan meminimalkan energi potensial menggunakan kalkulus variasi
Misal massa jenis tali ρT , maka energi potensial elemen tersebut
Kendala: Panjang Tali Konstan
Masalah variasi dan kendala ini
V = Energi potensial
λ = Pengali lagrange
L = Kendala (konstrain)
Masalah variasi
Di sini kita menuliskan F lalu disubstitusikan ke persamaan Euler, sehingga
Maka
Kita hilangkan kuadrat dengan cara akar pada persamaan (2.1)
Seperti penyelesaian soal kalkulus variasi pada umumnya, kita sudah menemukan fungsi y(x) yang meminimalkan energi potensial.
Namun, terdapat tiga konstanta yang tidak diketahui yaitu λ , k1 , dan k2
Kita bisa mencarinya dengan menganalisis gaya untuk mencari tiga konstanta tersebut.
Simak penjelasan di bawah.
Ada tiga analisis gaya yaitu hanya layang - layang, hanya tali, dan keseluruhan tali dan layang- layang.
Gambar 12 Diagram Gaya pada Layang-layang
Gambar 13. Diagram Gaya pada Bagian Tali
Persamaan (2.3) dikuadratkan, maka
Persamaan (2.4) dikuadratkan, maka
Karena dx nilainya sangat kecil , maka dx2 ≈ 0 bisa dianggap nol, lalu
Persamaan (2.5) dan (2.6) dijumlahkan dengan cara sisi kiri persamaan (2.5) ditambahkan sisi kiri persamaan (2.6), maka
Dari persamaan (2.3)
Gambar 14. Rincian θ2 dari Gambar 11
Gambar 15 Rincian θ1 dari Gambar 11
Penulisan (x) dapat kita hapus, maka
karena 𝑑𝑥 nilainya sangat kecil , maka 𝑑𝑥2 ≈ 0, bisa dianggap 0, lalu
Persamaan (2.6) disubstitusikan ke persamaan (2.7), menjadi persamaan (2.8)
Dari membandingkan persamaan ini dengan persamaan (2.1) diperoleh bahwa
Gambar 16. Diagram Gaya pada Tali Keseluruhan
Gambar 17. Rincian pada θf pada Gambar 14.
Dari persamaan (2.8)
Ketika x = 0 maka y = 0 maka y' = tan θ0
Latihan
Selanjutnya kita cari k2 dengan kondisi x = 0 maka y = 0 sehingga pada persamaan (2.10) y(x) = 0, Bisakah Anda mencari k2 ?
Jadi, persamaan yang penting yaitu
FD = gaya drag (proyeksi horizontal dari tekanan angin) (N)
ρT = massa per satuan panjang tali (kg/m)
mT = massa tali (kg)
FL = gaya angkat (proyeksi vertikal dari tekanan angin) (N)
WLL = gaya berat layang-layang (N)
Jadi fungsi y(x) membentuk lintasan tali saat layang - layang diterbangkan. Kita bisa menggambarkannya secara komputasi.
Persamaan gaya hambat (drag) yaitu
Persamaan gaya angkat (lift) yaitu
Pada permainan layang - layang, ada 4 gaya yang bekerja yaitu gaya angkat, gaya hambat, gaya berat layang - layang, dan gaya dorong. Cara meluncurkan layang-layang ke udara, yaitu gaya angkat harus lebih besar dari gaya berat. Supaya layang-layang tetap terbang dengan stabil, keempat gaya tersebut harus seimbang. Gaya angkat harus sama dengan gaya berat dan gaya dorong harus sama dengan gaya hambat.
Saat mengerjakan soal kalkulus variasi, baiknya kita lihat dahulu soal tentang apa yang akan kita kerjakan. Di awal terdapat diagram gaya saat kita bermain layang - layang (Gambar 2.9), lalu kita lihat bahwa benang layang - layang melengkung akibat dari kecenderungan benang untuk menempati posisi dan energi potensial yang minim. Dari sini kita tahu energi potensial pada benang ini akan kita minimalkan dengan kalkulus variasi.
Berikut cara menyelesaikan permasalahan layang - layang dengan kalkulus variasi,
Langkah 1. Dengan melihat Gambar (2.9), kita tahu besaran yang diminimalkan yaitu energi potensial pada benang layang-layang
Langkah 2. Kita memiliki batasan (constraint) bahwa panjang tali adalah konstan, sehingga kita menggunakan pengali Lagrange.
Langkah 3. Menuliskan F lalu disubstitusi ke persamaan Euler Lagrange
Langkah 4. Menyelesaikan persamaan diferensial sehingga menemukan persamaan y(x)
Langkah 5. Dikarenakan 3 konstanta belum diketahui yaitu λ , k1 , dan k2 maka kita mencarinya dengan cara menganalisis tiga gaya pada permainan layang - layang yaitu hanya layang - layang, hanya tali, dan keseluruhan tali dan layang- layang.
Langkah 6. Setelah 3 konstanta ditemukan, maka mensubstitusi ke persamaan y(x)
Kalkulus variasi selain menyelesaikan persoalan geodesi dan brakistokron, juga dapat menyelesaikan persoalan permainan layang - layang. Ternyata kita bisa menganalisis permainan sederhana secara fisika.
Menurutmu persoalan apa yang kira-kira bisa diselesaikan dengan kalkulus variasi?