1. Kalkulus Variasi

Pada kalkulus biasa, Persamaan saat mencari nilai maksimum dan minimum dari fungsi f(x) yaitu :

F merupakan fungsi tetap dari tiga variabel ( x, y, y'), sedangkan persoalan umum dalam kalkulus variasi adalah mencari (biasanya tunduk pada yarat batas) fungsi kontinu dan fungsi y(x) yang membuat stasioner. Nilai-nilai stasioner dari l  ini dalam banyak persoalan akan berupa minimum atau maksimum dan bisa juga berupa titik pelana. 

Untuk menjaga agar titik-titik ujungnya tetap. 

 Berdasarkan Gambar 2. dan persamaan (1.3) maka didefinisikan persamaan yang memenuhi syarat batas (1.3) seperti berikut :

Di mana y(x) adalah nilai ekstrim yang diinginkan. Karena sembarangnya η(x), maka Y(x) mewakili kurva bernilai tunggal dengan turunan kedua kontinu yang ingin digambar melalui (x1,y1 ) dan (x2,y2). 

Dengan menggunakan prinsip variasi, kita akan memvariasikan persamaan (1.2) sehingga y menjadi Y

Persamaan (1.5) menunjukkan bahwa y(x) = Y(x). Ingat Y(x) = y(x) + εη(x), ketika ε = 0, maka y(x) = Y(x)

Imenjadi fungsi dari ε. Untuk membuat I stasioner, maka diterapkan syarat sebagai berikut :

dI/dε = 0 pada ε = 0 . Jika ε = 0 , maka Y = y

Turunan dari persamaan (1.4) adalah persamaan (1.6)

Dari persamaan (1.4) diturunkan terhadap ε

Dari persamaan (1.6) diturunkan terhadap ε

Selanjutnya kita ingin fungsi I menjadi stasioner maka turunan dari fungsi tersebut harus nol.

Y dan Y’ adalah fungsi dari ε. Maka

karena x bukan fungsi dari ε, maka

Substitusi persamaan (1.7) dan (1.8) pada persamaan (1.10), maka

Ingat pada persamaan 1.3 bahwa η(x1) = η(x2) = 0,

Sehingga suku kedua persamaan (1.11) menjadi berikut,

Kita kembali ke persaman (1.11) lalu keluarkan η

Kita ingat bahwa jika ε = 0 maka Y = y , Y' = y'

Kita lihat sisi kiri persamaan (1.12) sama dengan nol. Kita tahu η adalah arbitrary atau sembarang maka persamaan Euler sebagai berikut, 

Masalah apa pun dalam kalkulus variasi diselesaikan dengan membuat integral menjadi stasioner, lalu menulis apa fungsi F, kemudian substitusi ke dalam persamaan Euler, dan akhirnya menyelesaikan persamaan diferensial yang dihasilkan. 

Pembahasan di atas menggunakan variabel x dan y, tapi di fisika ada koordinat polar r dan θ . Secara matematis, sama saja jika kita menggunakan simbol yang berbeda. Polanya sama, Simak contoh berikut,

Untuk meminimalkan (menjadikan stasioner) integral berikut ,

Penyelesaian persamaan Euler nya adalah,

Mungkin pembahasan materi di atas terlalu teoritis sehingga membingungkan. Tapi tenang, kalau kamu bingung, artinya kamu sedang berproses memahami sesuatu. Ini adalah proses alamiah. 

Jika masih bingung, kamu bisa memahami kalkulus variasi melalui contoh soal yang biasa kamu temukan pada pembahasan kalkulus variasi. yaitu soal geodesik dan brachistrone. Kalkulus variasi dapat menyelesaikan dua persoalan tersebut. 

Nah apa itu geodesik dan brachistrone? silahkan simak penjelasan berikut.

Selanjutnya kita gunakan theorema pytagoras.

Langkah 2

Menulis fungsi F 

Langkah 3

Fungsi F disubstitusikan ke persamaan Euler dan selesaikan persamaan differensial hasil substitusi.

Kita substitusi persamaan (1.16) pada persamaan Euler

Suku kedua menjadi nol karena tidak ada variabel y

Sesuatu ketika diturunkan hasilnya sama dengan nol, maka sesuatu tersebut adalah konstanta. Kita juga mewakili konstanta dengan simbol apapun.

Sekarang kita misalkan konstanta yaitu m. Lalu kita integralkan terhadap x

 Persamaan (1.18) adalah persamaan dari garis lurus sesuai dengan y = mx + c. Jadi sesuai dengan intuitif di awal bahwa lintasan terpendek dari titik A hingga titik B adalah garis lurus.

Pertama, kita pastinya mengenal persamaan fisika zaman SMA, yaitu s = v * t, kita ubah menjadi

Sehingga permasalahan brakistokron yaitu :

Mencari lintasan y =f(x) dari A ke B yang meminimalkan waktu tempuh dari A ke B dan hanya dipengaruhi percepatan gravitasi.

Perhatikan gambar di bawah ini

Pada gambar kita tentukan acuan yaitu pusat koordinat kartesian terletak pada posisi bola dijatuhkan dan ujung lintasan. Sehingga v = 0 dan y = 0 sebagai acuan energi potensial. Hal ini dilakukan supaya perhitungan lebih mudah. 

Langkah 1. 

Cari besaran yang diminimalkan, yaitu waktu dari lintasan titik A hingga titik B. Kita tulis T

Kita cari dt yaitu

Kita cari dS

Sedangkan untuk mencari v(x,y) kita menggunakan hukum konservasi energi. Hal ini dikarenakan ketika partikel dijatuhkan dari A ke B, energi potensial dirubah menjadi energi kinetik.

Persamaan (1.20) dan (1.21) kita subtitusikan ke persamaan (1.19) menjadi 

Langkah 2

Menulis fungsi F 

Kita lihat bahwa Fungsional F tidak ada x. Artinya F tidak memilki x secara eksplisit (langsung). Bukankah ada dx pada persamaan (1.22)? dx adalah bagian dari y' = dy/dx . 

Contoh eksplisit :  F(x,y,y') = x2 + y3 + (y')3 maka F tergantung pada x

Contoh tidak eksplisit : F(x,y,y') =  y3 + (y')3 maka F tergantung pada y dan y' dan tidak ekplisit tergantung pada x

Jika seperti ini,  kita bisa menjadikan y sebagai variabel turunan (dy). Hal ini bertujuan supaya lebih mudah. 

Berikut adalah persaman yang  dapat disubstitusi,

Selanjutnya kita uraikan satu persatu pembilang (1.23) yaitu,

Langkah 3

Fungsi F disubstitusikan ke persamaan Euler dan selesaikan persamaan differensial hasil substitusi.

∂F/∂x = 0, karena tidak mengandung variabel x, maka

Selanjutnya kita cari x'

Untuk menyederhanakan, maka digunakanlah

lalu cari dx

Akhirnya kita cari x dan y

Ingat Gambar 1.5.  Karena kita telah memilih sumbu untuk membuat kurva melewati titik asal, x = y = 0 harus memenuhi persamaan kurva, sehingga c'= 0

Persamaan (1.26) dan (1.27) sebagai fungsi θ adalah persamaan parametrik dari kurva lintasan di mana partikel meluncur dalam waktu minimum. Dua persamaan ini juga merupakan persamaan parametrik dari Cycloid (Sikloid)

Kalkulus variasi adalah cara matematis yang digunakan untuk mencari lintasan suatu fungsi yang bernilai ekstrim (nilai maksimum, nilai minimum, dan belok). Untuk pembahasan fisika umumnya membahas nilai minimum.

Secara umum, konsep dari kalkulus variasi adalah mencari y = f(x) yang membuat integral ini 

Masalah apa pun dalam kalkulus variasi diselesaikan dengan cara berikut,

1. Membuat integral (I) menjadi stasioner, lalu menulis apa fungsi F.

2. Menulis apa fungsi F

3. Substitusi fungsi F ke dalam persamaan Euler dan menyelesaikan persamaan diferensial yang dihasilkan.