Matematica 2014/15: Esercitazioni Algebra 3 (Teoria dei Gruppi)

Docente del corso: Prof. Andrea Previtali

Esercitazioni:

14 ottobre: Gruppi di permutazioni. [Codice]

• Sia K il cubo e siano s=(1,2,3,4)(5,6,7,8) la rotazione rispetto "l'asse z" di pi/2 e t=(2,4,5)(3,8,6) la rotazione di 2/3pi attorno all'asse passante per 1 e 7. Studiare il gruppo G=<s,t>. Orbite su K, transitività, stabilizzatore di 1, ordine di G (teorema orbit/stabiliser). Sottogruppi di Sylow di G: interpretazione geometrica dei 3-Sylow (il cubo ha 4 diagonali), i 2-Sylow sono diedrali di ordine 8.
  • Per un campo K e un naturale n si definisce Aff_n(K) il gruppo affine di K^n. Verifica che è un gruppo, unità e formula dell'inverso. GL(n,K) è un suo sottogruppo, K^n è un suo sottogruppo normale.
  • F_4 campo con quattro elementi (richiami sulla costruzione dei campi finiti), costruzione esplicita di Aff_1(F_4). Costruzione di un isomorfismo Aff_1(F_4) →Alt(4). Si deduce che Alt(4) non è semplice.

21 ottobre: Esempi di programmazione con Magma, Gruppi di permutazioni. [Logfile]

• Esempi di programmazione con magma: funzioni, if, for, gestione dei file di input, coercizione.
• Scrivere una funzione che, dato n, restituisce i numeri primi di Mersenne minori o uguali a 2^n-1
• Magma sa gestire i grafi (per esempio il grafo K di settimana scorsa) e i loro automorfismi. Verifica delle affermazioni fatte settimana scorsa per il sottogruppo <s,t> di Aut(K).
• Gruppo G del cubo di Rubik. Orbite: 1^G e 2^G, restrizione dell'azione a ciascuna delle due orbite. Detti Hi i gruppi quoziente di G che agiscono su i^G, i \in \{1,2\}, abbiamo studiato i blocchi di Hi e l'azione di Hi sull'insieme dei blocchi. Hi e` un'estensione del nucleo dell'azione di Hi sui blocchi di Hi (tale nucleo e` elementarmente abeliano mentre il suo complemento e` un gruppo simmetrico). G ha indice 2 nel gruppo generato da H1 e H2 (visti come gruppi che operano su tutto il cubo). Costruzione della mappa Free(6) ->G che manda generatori in generatori, e interpretazione delle preimmagini di uno stato g\in G in termini di soluzione del cubo.

28 ottobre: [Codice]

• Gruppi lineari, SL(n,q). Borel, unitriangolari, p-Sylow (q=p^l).
• Trovare con magma il controesempio minimale all'affermazione "per ogni divisore d dell'ordine di un gruppo G esiste un sottogruppo H <G di ordine d".

4 novembre:

• Gruppi liberi e parole.
• Classificazione dei gruppi di ordine 8.
• Quaternioni.

11 novembre:

• Grafo di Cayley, grafi di Schreier.
• Algoritmo di Todd-Coxeter (sia usando le tabelle che usando i grafi di Schreier).
• Esempio sulla presentazione <a,b | a^4, b^2, aba^2b> del gruppo C_2.
• Esempio con Sym(4) = <a,b,c | a^2,b^a,c^2, (ab)^3, (ac)^2, (bc)^3> rispetto al sottogruppo di Klein <a,c>.

18 novembre: [Codice]

• Ping-pong lemma.
• Il sottogruppo di SL_2(Z) generato da (1,2\\0,1) e (1,0\\2,1) e` libero di rango 2.
• Controesempio minimale all'affermazione {[g,h] : g,h\in G}=G'.

25 novembre: Semplicita` dei gruppi alterni, stima del numero dei commutatori

• Lemma1: A_n e` generato dai 3-cicli se n>=3
• Lemma2: Le classi di coniugio di S_n sono unione di al piu` due classi di coniugio di A_n, e TFAE
1. sigma^{S_n} e` unione di due classi
2. nessun tau in S_n\A_n commuta con sigma
3. sigma ha solo cicli dispari di lunghezze non ripetute
• Lemma 3: Le classi sono 1-1 con le partizioni di n. Se sigma ha a_i cicli di lunghezza i allora |sigma^{S_n}|=n!/ (a1! a2!...an! 2^a2 3^a3 ... n^an).
• Lemma 4: Classi di coniugio di Sn, e come si spezzano in classi di An
• Prop: A5 e` semplice.
• Lemma 5: An e` 2-transitivo quando n >=4
• Lemma 6: Se G e` 2-trans e N<G normale, allora N e` transitivo
• Prop: A_n e` semplice se n>5.
• Teorema: A_n semplice se n diverso da 4.
  • Prop. Se i=[G:ZG], allora |{[gh] : g,h in G}| <= i(i-1)+1 <= i^2. Condizioni sufficiente per l'esistenza di non-commutatori nel derivato
  • Verifica che per gli esempi minimali di Guralnick la condizione sufficiente non e` verificata.
  • Idea di come trovare il derivato usando i quozienti abeliani con magma

2 dicembre: G', gruppi nilpotenti [Logfile]

• Usando Magma, trovare il sottogruppo derivato di G come il minimo sottogruppo normale N tale che G/N sia abeliano.
• Costruzione di sottogruppi nilpotenti (unipotenti) a partire da sottoanelli nilpotenti. Stima da sopra della classe di nilpotenza.
• Caso dell'anello delle matrici e del sottoanello delle matrici uppertriangular: costruzione di U_n(K). Verifica che la classe di nilpotenza del sottoanello coincide con quella del gruppo.

9 dicembre: p-gruppi [Codice]

• Usando Magma, trovare esempi di gruppi nilpotenti per cui il contenimento γ_c+1-i⊆ ζ_i e` un contenimento stretto.
• Se |G|=p<sup>k</sup>, k≥ 1 ⇒ ZG≠1
• Se G e` un gruppo e G/ZG e` ciclico, allora G e` abeliano
• Se |G|=p^k, k≥ 1 ⇒ G e` nilpotente di classe c≤ k-1
• Un p-gruppo si dice extra-speciale se [G,G]=ZG≃ C<sub>p</sub>.
• Sia G un gruppo non abeliano di ordine p<sup>3</sup>. Allora G e` extraspeciale
• Gruppo di Heisemberg su Z/pZ: H(p) = { (1,a,b\\0,1,c\\0,0,1) ∈ GL₃(Z/pZ) }. Generatori, forma normale.
• Gruppo A(p) = { (1+pa, b\\0,1 ) ∈ GL₂(Z/p² Z) }. Generatori, forma normale.
• Se p≠2 ⇒ H(p)≄ A(p). Ogni elemento (tranne 1) di H(p) ha ordine p. In A(p) esistono elementi di ordine p².
• Sia G un gruppo, siano g,h in G tali che [g,[g,h]]=1=[h,[g,h]]. Allora

1. g^ah^a=(gh)^a[g,h]^a(a-1)/2
2. [g^a,h^b]=[g,h]^ab

• Sia G un p-gruppo di ordine |G|=p^k ≤ p³. Allora

1. Se k=1, G e` il gruppo banale
2. se k=1, G ≃ C_p
   1. se k=2, allora G e` abeliano e G ≃ (C_p)² oppure G ≃ C_p²
   2. se k=3 e G e` abeliano, allora G ≃ (C_p)³ oppure G ≃ C_p × C_p² oppure G ≃ C_p³
3. se k=2, se p=2, se G non e` abeliano, allora G e` diedrale D₄ oppure isomorfo al gruppi H₈ dei quaternioni [questo si verifica con Magma]
4. se k=3, se p≠2, se G non e` abeliano, e ogni elemento (tranne 1) ha ordine p, allora G ≃ H(p)
5. se k=3, se p≠2, se G non e` abeliano, ed esistono elementi di ordine p², allora G ≃ A(p) [da fare la prossima volta]

16 dicembre: p-gruppi, gruppi nilpotenti, Frattini [Logfile, Codice]

• Classificazione dei gruppi di ordine p₃ (conclusione)
• Teorema di Fitting: G gruppo, P,Q ⊴ G sottogruppi normali, P nilpotente di classe p e Q nilpotente di classe q, allora PQ ⊴ G e` un sottogruppo nilpotente di classe c ≤ p+q.
• Esercizi con Magma:
  1. scrivere una funzione che trovi il Frattini di un gruppo finito.
  2. verificare per qualche gruppo che la nostra funzione coincide con quella built-in di Magma
  3. verificare per qualche gruppo nilpotente che la classe di nilpotenza e` minore o uguale alla somma delle classi di nilpotenza dei suoi Sylow.

13 gennaio: gruppi risolubili, gruppi nilpotenti, gruppi perfetti

• S_n non e` risolubile per n ≥ 5
• G gruppo, H sottogruppo non abeliano perfetto (in particolare H semplice non abeliano). Allora G non e` risolubile.
• Se 1→ N→ G→ Q→ 1 e` esatta, allora G e` risolubile se e solo se lo sono sia N che Q≃ G/N
• Se G e` finito e non risolubile, se ogni sottogruppo proprio H di G e` risolubile e se N e` un sottogruppo normale proprio di G, allora N e` nilpotente
• SL_n(F), F campo, e` generato dalle matrici X<sub>ij</sub>(λ), dove (X<sub>ij</sub>(λ))<sub>rs</sub>=δ<sub>r,s</sub> +λ δ<sub>i,r</sub>δ<sub>j,s</sub> e i ≠ j
• Se n ≥ 3 allora X<sub>ij</sub>(λ) e` un commutatore: X_ij(λ) = [X_ik(λ), X_kj(1)] per k ∈ { 1, ..., n } \ { i, j }
• Se n =2 e |F|>3, allora X_ij(λ) e` un commutatore
• Quindi SL<sub>n</sub>(F<sub>q</sub>) e` perfetto se (n,q)∉{(2,2),(2,3)}. In particolare SL_n(F_q) non e` risolubile se (n,q)∉{(2,2),(2,3)}.

20 gennaio: sottogruppo di Fitting, serie di Fitting ascendente [Logfile, Codice]

• Verificare per qualche gruppo nilpotente che la lunghezza derivata e` limitata da log<sub>2</sub>(c)+1, dove c e` la classe di nilpotenza
• Algoritmo per trovare il sottogruppo di Fitting
• Algoritmo per trovare la serie di Fitting ascendente
• Verificare che Frattini(G) ≤ Fitting(G) per G risolubile finito
• Verificare che la lunghezza di nilpotenza e` 1 se e solo se G e` nilpotente (non banale).