Matematica 2013/14: Esercitazioni Algebra 1

Docente del corso: Prof. Th. Weigel

Programma e altre informazioni: qui.

Esame totale del 14 gennaio 2015

Il testo del compito si trova qui, gli esiti sono disponibili qui.

Gli studenti ammessi alla prova orale sono pregati di contattare telefonicamente il Prof. Weigel per fissare un appuntamento per l'esame.

Esame totale del 20 novembre 2014

Il testo del compito si trova qui, gli esiti sono disponibili qui.

Gli studenti ammessi alla prova orale sono pregati di contattare telefonicamente il Prof. Weigel il giorno 15 dicembre 2014 per fissare una data per l'esame.

Gli studenti che volessero visionare il proprio scritto sono pregati di contattare me via email.

Esame totale del 22 ottobre 2014

Il testo del compito si trova qui, gli esiti sono disponibili qui.

Segnalo che le dispense disponibili su http://www.wikifm.org/index.php/Algebra_I non sono state riviste e contengono degli errori, tra i quali uno nella dimostrazione del teorema cinese dei resti.

Gli esiti non saranno disponibili prima del giorno 3 novembre.

Esame totale del 25 settembre 2014, ore 9.30

Il testo del compito si trova qui, gli esiti sono disponibili qui.

Secondo compitino ed esame totale del 3 luglio 2014, ore 9.30

Il tema d'esame del secondo compito parziale è qui, mentre il testo del compito totale si trova qui.

Gli esiti globali sono disponibili qui. Gli studenti ammessi all'orale che lo intendano sostenere a luglio sono pregati di prendere un appuntamenteo prenotandosi sul foglio esposto sulla porta dello studio del prof. Weigel.

Visione scritti del 3 luglio

Gli scritti saranno disponibili per la visione il giorno mercoledì 9 luglio dalle 14.45, in aula U3-2 oppure U3-5 (starò facendo un esame scritto in una delle due aule: cercatemi).

Gli scritti sono disponibili per la visione contattandomi via mail.

Compitino dell'8 maggio 2014

Gli esiti del compitino sono disponibili qui (ma alcuni esiti sono non corretti, lo saranno entro il 15 maggio presto!, si vedano gli esiti globali post-secondo compito.). Gli studenti che hanno ottenuto un punteggio non inferiore a 15/30 sono ammessi al secondo compitino. Coloro che hanno ottenuto un punteggio inferiore a 15/30 dovranno sostenere una prova globale.

Il tema del compito si trova qui, e una soluzione (con anche alcuni esercizi supplementari) si trova qui. Si invitano tutti gli studenti a prenderne visione e confrontarla con il proprio elaborato. Alla prossima esercitazione (13 maggio) i compiti potranno essere visionati.

Diario delle esercitazioni

1. 11 marzo 2014:
2. Relazioni, relazioni di equivalenza e partizioni, contare le relazioni di equivalenza su un insieme finito.
3. 18 marzo 2014:
4. Proprietà delle funzioni iniettive e suriettive, leggi di cancellazione.
5. Permutazioni, decomposizione in cicli e inversa.
6. 25 marz0 2014:
7. Esempi di omomorfismi di gruppi, gruppo affine Aff_n(k), sottogruppi normali.
8. Indice [G:H] di un sottogruppo H di G. Se [G:H]=2 allora H è normale in G.
9. Permutazioni, rappresentazione per matrici e funzione segno. Il sottogruppo alterno è normale nel gruppo simmetrico.
10. 1 aprile 2014:
11. Prodotto (semi)diretto esterno e interno.
12. Omomorfismo di coniugio, identificazione tra prodotto (semi)diretto interno ed esterno.
13. Centro di un gruppo.
14. 3 aprile 2014:
15. Decomposizione in prodotto semidiretto di gruppo diedrale e gruppo affine.
16. Centro del gruppo simmetrico e di GL_n(ℂ).
17. Azione di PGL₂(ℂ) sulla sfera di Riemann.
18. 15 aprile 2014:
19. Esempi di azioni di gruppi.
20. GL_n(k) agisce su kⁿ, verifica dell'equazione dell'orbita-stabilizzatore se k è infinito oppure finito di ordine primo.
21. Azione di coniugio. Classi di coniugio di permutazioni.
22. I gruppi C_p (p primo) e Alt(5) sono semplici.
23. 29 aprile 2014:
24. Struttura di (H,G)-insieme su Y^X se X e` un G-insieme sinistro e Y e` un H-insieme sinistro. Esempi.
25. Lemma di Burnside. Baby Pólya enumeration theorem.
26. Necklace polynomials. Funzione φ di Euler.
27. 6 maggio 2014:
28. Preparazione al compitino.
1. 13 maggio 2014:
2. Anelli e anelli commutativi. Ideali dell'anello ℤ degli interi: ℤ è un PID, ideali primi e ideali massimali.
3. Somma di ideali e minimo comune multiplo.
   1. L'anello degli interi di Gauss ℤ[i] è un dominio euclideo.
   2. 19 maggio 2014:
   3. Algoritmo di Euclide per il massimo comun divisore nei domini Euclidei.
   4. L'intersezione di ideali principali (x_i) in un dominio di integrità coincide con l'ideale principale generato da un minimo comune multiplo degli x_i.
   5. Se d₁ e d₂ sono massimi comuni divisori di x e y, allora d₁ e d₂ sono coniugati tramite un'unità.
   6. Se m₁ e m₂ sono minimi comuni multipli di x e y, allora m₁ e m₂ sono coniugati tramite un'unità.
   7. ℤ[√5] contiene elementi irriducibili non primi, per esempio 1+√5.
   8. Per un anello commutativo R sono equivalenti:
   9. * R è un campo,
   10. * Se I è un ideale di R allora I={0} oppure I=R,
   11. * L'ideale {0} è massimale.
   12. Se R è un anello commutativo che non è un campo, sia J_p={f(X) =a₀+a₁X¹+...+a_nXⁿ | a₀ ∈ (p)}, dove (p) è l'ideale principale generato da un elemento p non invertibile e non nullo. Allora J_p non è un ideale principale.
   13. Se k è un campo, e f(X) ∈ k[X] è un polinomio di grado n, allora ogni elemento di k[X]/(f(X)) contiene esattamente un polinomio di grado minore di n (il resto della divisione). Quindi k[X]/(f(X)) è un k-spazio vettoriale che ha come base { 1+(f(X)), X+(f(X)), X²+(f(X)), ..., X^n-1+(f(X)) }.
   14. k[X]/(f(X)) è un campo se, e solo se, f(X) è irriducibile.
   15. 27 maggio 2014:
   16. Teorema cinese del resto in ℤ e in k[X].
   17. Sistema di condivisione delle informazioni e polinomi interpolanti di Lagrange.
4. 3 giugno 2014:
5. Polinomio minimo di un endomorfismo di uno spazio vettoriale di dimensione finita
6. Costruzione esplicita di un (del) campo di ordine 125.
   1. 10 giugno 2014:
   2. Se R è un anello tale che x²=x per ogni x in R, allora
   3. * R ha caratteristica 2 oppure R è l'anello costituito dal solo 0,
   4. * R è commutativo.
   5. Se V è un k-spazio vettoriale di dimensione finita e α è un endomorfismo di V, sia V(α) il k[T]-modulo che coincide V come spazio vettoriale, e su cui T agisce come α. Allora V(α) è isomorfo a V(β) se, e solo se, α e β sono coniugati tramite un automorfismo di V (cambio di base).
   6. Teorema di struttura dei moduli finitamente generati su un dominio a ideali principali.