Построение эпюр продольных сил и нормальных напряжений
Пример 1. Построить эпюру
для колонны переменного сечения (рис. а). Длины участков 2 м. Нагрузки: сосредоточенные =40 кН, =60 кН,
=50 кН; распределенная =20 кН/м.
Рис. 1. Схема построения эпюры продольных сил N
Решение: Пользуемся методом сечений. Рассматриваем (поочередно) равновесие отсеченной (верхней) части колонны (рис. 1в).
Из уравнения для отсеченной части стержня в произвольном сечении участка продольная сила
(),
при
=0 кН;
при =2 м кН,
в сечениях участков
имеем соответственно:
кН,
кН,
кН,
Итак, в четырех сечениях продольные силы отрицательны, что указывает на деформацию сжатия (укорочения) всех участков колонны. По результатам вычислений строим эпюру продольных сил
(рис. 1б), соблюдая масштаб. Из анализа эпюры следует, что на участках, свободных от нагрузок, продольная сила постоянна, на нагруженных – переменна, в точках приложения сосредоточенных сил – изменяется скачкообразно.
Пример 2. Построить эпюру Nz для стержня, приведенного на рисунке 2.
Рис. 2. Схема нагружения стержня
Решение: Стержень нагружен только сосредоточенными осевыми силами, поэтому продольная сила в пределах каждого участка постоянна. На границе участков Nz претерпевает разрывы. Примем направление обхода от свободного конца (сеч. Е) к защемлению (сеч. А). На участке DE продольная сила положительна, так как сила
вызывает растяжение, т.е. NED = +F. В сечении D продольная сила меняется скачком от NDE = NED = F до NDС = NDЕ –3F = –2F (находим из условия равновесия бесконечно малого элемента dz, выделенного на границе двух смежных участков CD и DE).
Заметим, что скачок равен по величине приложенной силе 3F и направлен в сторону отрицательных значений Nz, так как сила 3F вызывает сжатие. На участке CD имеем NСD = NDС = –2F. В сечении C продольная сила изменяется скачком от NСD = –2F до NСВ = NСD + 5F = 3F. Величина скачка равна приложенной силе 5F. В пределах участка CВ продольная сила опять постоянна NСВ = NВС =3F. Наконец, в сечении В на эпюре Nz опять скачок: продольная сила меняется от NВС = 3F до NВА = NВС –2F = F. Направление скачка вниз (в сторону отрицательных значений), так как сила 2F вызывает сжатие стержня. Эпюра Nz приведена на рисунке 2.
Пример 3. Для стального ступенчатого бруса, рис. 3 (), нагруженного осевыми внешними силами F1 = 150 кН = 15 кг, F2 = 100 кН = 10
кг, при длине участков = 30 cм, b = 20 см, = 15 см и площади поперечного сечения A = 10 см2 требуется:
1. Определить внутренние продольные силы
и построить их эпюру.
2. Вычислить для каждого участка напряжения
и построить их эпюру.
3. Вычислить полную абсолютную деформацию бруса.
а) б) в)
Рис. 3. Схема нагружения стержня
Решение: 1. Определяем внутренние продольные силы. Имеем два силовых участка длиной (а + b) и c. Для первого участка, имеем
= = 15·103 кг = 150 кН (растяжение);
для второго участка:
= – = 15 – 20= –5 кг = –50 кН (сжатие).
Выбираем масштаб и строим эпюру (рис. б).
2. Вычисляем нормальные напряжения.
На участках а и b площадь поперечного сечения одинакова и равна 2А=20 см2. Тогда
на участке с:
Выбираем масштаб и строим эпюру
(рис. в).
2. Полная деформация бруса:
= 0,00973 – 0,00375 = 0,00562 см = 0,0562 м.