Тема 2.4. Кручение
§1. Основные понятия. Крутящий момент
Под кручением понимается такой вид деформации, когда в поперечных сечениях бруса действует только крутящий момент Mk, (другое обозначение T, Mz), а остальные силовые факторы (нормальная и поперечная силы и изгибающие моменты) отсутствуют.
Или другое определение кручением называют деформацию, возникающую при действии на стержень пары сил, расположенной в плоскости, перпендикулярной к его оси (рис.1).
Кручение возникает в валах, винтовых пружинах, в элементах пространственных конструкций и т.п.
Деформация кручения наблюдается если прямой брус нагружен внешними моментами (парами сил M), плоскости действия которых перпендикулярны к его продольной оси
В чистом виде деформация кручения встречается редко, обычно присутствуют и другие внутренние силовые факторы (изгибающие моменты, продольные силы).
Стержни круглого или кольцевого сечения, работающие на кручение, называют валами.
Внешние крутящие моменты передаются на вал в местах посадки на него шкивов, зубчатых колес, там, где поперечная нагрузка смещена относительно оси вала.
Мы будем рассматривать прямой брус только в состоянии покоя или равномерного вращения. В этом случае алгебраическая сумма всех внешних скручивающих моментов, приложенных к брусу, будет равна нулю.
При расчете брусьев, испытывающий деформацию кручения, на прочность и жесткость при статическом действии нагрузки, надо решить две основные задачи. Это определение напряжений (от Mk), возникающих в брусе, и нахождение угловых перемещений в зависимости от внешних скручивающих моментов.
При расчете валов обычно бывает известна мощность, передаваемая на вал, а величины внешних скручивающих моментов, подлежат определению. Внешние скручивающие моменты, как правило, передаются на вал в местах посадки на него шкивов, зубчатых колес и т.п.
В ряде случаев величины внешних крутящих моментов определяются по величине потребляемой мощности и по скорости вращения вала. Если вал делает в минуту n оборотов (n- частота вращения, единицы измерения - об/мин.), то вращающий момент можно найти по формуле: Мвр=P/n,
эта формула дает значение момента в Н·м, если мощность выражена в Вт, а частота вращения n - об/мин.
§2. Построение эпюр крутящих моментов
Для определения напряжений и деформаций вала необходимо знать значения внутренних крутящих моментов Mk (Mz) в поперечных сечениях по длине вала. Диаграмму, показывающую распределение значений крутящих моментов по длине бруса, называют эпюрой крутящих моментов. Зная величины внешних скручивающих моментов и используя метод сечений, мы можем определить крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях вала.
В простейшем случае, когда вал нагружен только двумя внешними моментами (эти моменты из условия равновесия вала ΣMz=0 всегда равны друг другу по величине и направлены в противоположные стороны), как показано на рис. 1, крутящий момент Mz в любом поперечном сечении вала (на участке между внешними моментами) по величине равен внешнему моменту |M1|=|M2|.
Рис. 1. Возникновение крутящего момента Mz в сечении вала
В более сложных случаях, когда к валу приложено несколько внешних моментов, крутящие моменты Mk в поперечных сечениях различных участков вала неодинаковы.
На основании метода сечений крутящий момент в произвольном поперечном сечении вала численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к валу по одну сторону от рассматриваемого сечения.
При расчетах на прочность и жесткость знак крутящего момента не имеет никакого значения, но для удобства построения эп. Mk примем следующее правило знаков: крутящий момент считается положительным, если при взгляде в торец отсеченной части вала действующий на него момент представляется направленным по ходу часовой стрелки (рис.2).
Рис. 2. Знак крутящего момента Mz
§3. Расчеты на прочность и жесткость при кручении
Условие прочности при кручении с учетом принятых обозначений формулируется следующим образом: максимальные касательные напряжения, возникающие в опасном сечении вала, не должны превышать допускаемых напряжений и записывается в виде
τ = Mкmax/Wр ≤ [τк],
где
- берется либо на основании опытных данных, либо (при отсутствии нужных опытных характеристик) по теориям прочности, соответствующим материалу;
Mкmax - максимальный крутящий момент в сечении вала;
Wр - полярный момент сопротивления.
Условие прочности может служить основой для трех видов расчетов:
1. Проверка прочности (проверочный расчет), когда известны наибольший крутящий момент и размеры поперечного сечения вала. Расчет производится непосредственно по формуле τ = Mкmax/Wр ≤ [τк].
2. Подбор сечения (проектный расчет). Получим формулу для определения полярного момента сопротивления Wр, а значит диаметра вала, исходя из условия прочности:
Wр ≥ Mкmax/[τк]
Требуемый диаметр вала при найденном Wр. Значении диаметра определяется из формулы:
Wр = π·d3/16
3. Определение допускаемого крутящего момента, когда известны размеры сечения вала и задано допускаемое напряжение,
[Mкmax] = Wр·[τк]
Допускаемое напряжение для валов из сталей марок сталь 40 и сталь 45 принимается в пределах [τк] = 30÷50 МПа.
Кроме соблюдения условия прочности при проектировании валов требуется, чтобы вал обладал достаточной жесткостью: т.е. чтобы угол закручивания не превосходил некоторого заданного значения. Обозначив через θ угол закручивания единичной длины вала, можно составить расчетную формулу для проверки вала на жесткость:
θ = Mкmax/GJр ≤ [θ]
В зависимости от назначения вала принимают [θ] = (0,45 ÷ 1,75)·10-2 рад/м, что соответствует [θ°] = (0,25 ÷ 1,0) град/м.
С помощью условия жесткости решаются три задачи, аналогичные задачам расчета на прочность:
- Проверка жесткости (проверочный расчет), когда заданы крутящий момент, размеры и материал вала , а также допускаемый угол закручивания.
- Подбор сечения по условию жесткости (проектный расчет). Получим формулу для определения полярного момента инерции сечения вала, по условию жесткости Jр = Mкmax/G[θ]. При найденном значении Jр диаметр вала определяют из формулы: Jр = π·d4/32.
- Определение допускаемого крутящего момента по условию жесткости [Mкmax] = GJр[θ].
