Embedded Files
§1. Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью
Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью - это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени описывает одинаковые дуги.
Положение тела на окружности определяется радиусом-вектором , проведенным из центра окружности. Модуль радиуса-вектора равен радиусу окружности R (рис. 1).
Рис.1. Движения тела по окружности
За время ∆t тело, двигаясь из точки А в точку В, совершает перемещение , равное хорде АВ, и проходит путь, равный длине дуги l.
Радиус-вектор поворачивается на угол ∆φ. Угол выражают в радианах.
Скорость движения тела по траектории (окружности) направлена по касательной к траектории. Она называется линейной скоростью. Модуль линейной скорости равен отношению длины дуги окружности l к промежутку времени ∆t, за который эта дуга пройдена:
Скалярная физическая величина, численно равная отношению угла поворота радиуса-вектора к промежутку времени, за который этот поворот произошел, называется угловой скоростью:
В СИ единицей угловой скорости является радиан в секунду .
При равномерном движении по окружности угловая скорость и модуль линейной скорости — величины постоянные: ω=const; v=const.
Положение тела можно определить, если известен модуль радиуса- вектора и угол φ, который он составляет с осью Ох (угловая координата). Если в начальный момент времени t0=0 угловая координата равна φ0, а в момент времени t она равна φ, то угол поворота ∆φ радиуса-вектора за время ∆t=t-t0 равен ∆φ=φ-φ0. Тогда из последней формулы можно получить кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности: φ=φ0+ωt
Оно позволяет определить положение тела в любой момент времени t.
Учитывая, что
, получаем:
— формула связи между линейнойи угловой скоростью.
Промежуток времени Т, в течение которого тело совершает один полный оборот, называется периодом вращения: где N – число оборотов, совершенных телом за время Δt.
За время ∆t=Т тело проходит путь l=2πR. Следовательно,
Величина ϑ, обратная периоду, показывающая, сколько оборотов совершает тело за единицу времени, называется частотой вращения:
Следовательно, .
§2. Ускорение при движении тела по окружности с постоянной по модулю скоростью (центростремительное ускорение)
При равномерном вращении по окружности модуль скорости движения тела не изменяется, но направление скорости изменяется непрерывно. Следовательно, данное движение - движение с ускорением. Оно характеризует быстроту изменения скорости по направлению.
Рис.2. Равномерное движение тела по окружности
Ускорение
направлено по радиусу к центру и поэтому называется центростремительным ускорением:
Модуль , направление непрерывно изменяется (рис. 3). Поэтому данное движение не является равноускоренным.
Рис.3. Направление центростремительного ускорения
§3.Вращательное движение твердого тела вокруг оси. Угловая скорость и угловое ускорение
Для кинематического описания вращательного движения абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси используются те же величины, что и для описания движения материальной точки по окружности.
Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно с ним связанные), остаются во все время движения неподвижными (рис.4).
Промежуток времени, в течение которого тело совершает один полный оборот вокруг оси, — период вращения (Т). Величина, обратная периоду, — частота вращения (ν).
Проходящая через неподвижные точки А и В прямая АВ называется осью вращения.
Так как расстояния между точками твердого тела должны оставаться неизменными, то очевидно, что при вращательном движении все точки, принадлежащие оси вращения, будут неподвижны, а все остальные точки тела будут описывать окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры лежат на этой оси.
Для определения положения вращающегося тела проведем через ось вращения, вдоль которой направим ось Az, полуплоскость - неподвижную и полуплоскость, врезанную в само тело и вращающуюся вместе с ним (рис. 4).
Рис.4. Вращательное движение тела
Тогда положение тела в любой момент времени однозначно определится взятым с соответствующим знаком углом φ между этими полуплоскостями, который назовем углом поворота тела. Будем считать угол φ положительным, если он отложен от неподвижной плоскости в направлении против хода часовой стрелки (для наблюдателя, смотрящего с положительного конца оси Az), и отрицательным, если по ходу часовой стрелки. Измерять угол φ будем всегда в радианах. Чтобы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимость угла φ от времени t, т.е. φ=f(t).
Уравнение выражает закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.
При вращательном движении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси углы поворота радиуса-вектора различных точек тела одинаковы.
Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость ω и угловое ускорение ε.
Если за промежуток времени ∆t=t1-t тело совершает поворот на угол ∆φ=φ1-φ, то численно средней угловой скоростью тела за этот промежуток времени будет . В пределе при ∆t→0 найдем, что
или ω=.
Таким образом, числовое значение угловой скорости тела в данный момент времени равно первой производной от угла поворота по времени. Знак ω определяет направление вращения тела. Легко видеть, что когда вращение происходит против хода часовой стрелки, ω>0, а когда по ходу часовой стрелки, то ω<0.
Размерность угловой скорости 1/Т (т.е. 1/время); в качестве единицы измерения обычно применяют рад/с или, что тоже, 1/с (с-1), так как радиан - величина безразмерная.
Угловую скорость тела можно изобразить в виде вектора , модуль которого равен || и который направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки (рис.5). Такой вектор определяет сразу и модуль угловой скорости, и ось вращения, и направление вращения вокруг этой оси.
Рис.5. Направление угловой скорости
Угол поворота и угловая скорость характеризуют движение всего абсолютно твердого тела в целом. Линейная скорость какой-либо точки абсолютно твердого тела пропорциональна расстоянию точки от оси вращения:
При равномерном вращении абсолютно твердого тела углы поворота тела за любые равные промежутки времени одинаковы, тангенциальные ускорения у различных точек тела отсутствуют, а нормальное ускорение точки тела зависит от ее расстояния до оси вращения:
Вектор направлен по радиусу траектории точки к оси вращения.
Угловое ускорение характеризует изменение с течением времени угловой скорости тела. Если за промежуток времени ∆t=t1-t угловая скорость тела изменяется на величину ∆ω=ω1-ω, то числовое значение среднего углового ускорения тела за этот промежуток времени будет
. В пределе при ∆t→0 найдем,
Таким образом, числовое значение углового ускорения, тела в данный момент времени равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела по времени.
Размерность углового ускорения 1/T2 (1/время2); в качестве единицы измерения обычно применяется рад/с2 или, что то же, 1/с2 (с-2).
Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение тела называется ускоренным, а если убывает, - замедленным. Легко видеть, что вращение будет ускоренным, когда величины ω и ε имеют одинаковые знаки, и замедленным, - когда разные.
Угловое ускорение тела (по аналогии с угловой скоростью) можно также изобразить в виде вектора ε, направленного вдоль оси вращения. При этом
Направление ε совпадает с направлением ω, когда тело вращается ускоренно и (рис.5,а), противоположноω при замедленном вращении (рис.5,б).
Page updated
Google Sites
Report abuse