Определение параметров движения точки

Методические рекомендации по решению задач:

Рассмотрим, что может быть целью кинематических задач.

1. Нас может интересовать изменение кинематических величин в процессе движения, т.е. получение сведений об изменении координат, скорости, ускорения, а также соответствующих угловых величин.

2. В ряде задач, например, в задаче о движении тела под углом к горизонту, требуется узнать о значениях физических величин в конкретных состояниях: дальности полета, наибольшей величине подъема и т.д.

3. В случаях, когда тело одновременно участвует в нескольких движениях (например, качение шара) или рассматривается относительное движение нескольких тел, возникает необходимость установить соотношения между перемещениями, скоростями и ускорениями (линейными и угловыми), т.е. найти уравнения кинематической связи.

Несмотря на большое разнообразие задач по кинематике, можно предложить следующий алгоритм их решения:

1. Сделать схематический рисунок, изобразив начальное положение тел и их начальное состояние, т.е. и .

2. Выбрать систему отсчета на основании анализа условия задачи. Для этого нужно выбрать тело отсчета и связать с ним систему координат, указав начало отсчета координат, направление осей координат, момент начала отсчета времени. При выборе положительных направлений руководствуются направлением движения (скорости) или направлением ускорения.

3. Составить на основании законов движения систему уравнений в векторном виде для всех тел, а затем в скалярной форме, спроецировав на координатные оси эти векторные уравнения движения. При записи этих уравнений следует обратить внимание на знаки "+" и "-" проекций входящих в них векторных величин.

4. Ответ необходимо получить в виде аналитической формулы (в общем виде), а в конце произвести числовые расчеты.

Пример 1. Даны уравнения движения точки х = 3t; y=9t^2--4; где х, у - в см, t - в с. Найти уравнение траектории точки и для момента времени t₁ = 1с найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Решение: Уравнения движения точки можно рассматривать как параметрические уравнения ее траектории. Чтобы получить уравнения траектории точки в координатной форме, исключим время t из уравнений ее движения

На рис. 1 показано положение точки М в заданный момент времени(t₁ = 1 с), а также выполнено построение векторов скорости и ускорения точки. Вектор ₁ построен по составляющим

и ; этот вектор совпадает по направлению с направлением касательной к траектории. Вектор , построен по составляющим и .

Радиус кривизны траектории при t₁ = 1 с

, где - скорость встречного поезда относительно первого. В проекциях на ось Ох:

.

Так как путь, пройденный встречным поездом относительно первого, равен длине поезда, то время