Родилась в семье рабочих местного стекольного завода Бориса Титовича и Агафьи Ивановны Соковцовых. Белоруска. С 13 лет работала на стекольном заводе в поселке Дретунь. Вела активную общественно-политическую работу. Была председателем районной организации пионеров. В 1924 году ее избирали делегатом 6-го съезда РКСМ, на котором она познакомилась со своим будущим мужем Яковом Осиповым. В 1933 году Мария Борисовна с семьёй переехала в Минск и поступила в Высшую сельскохозяйственную партийную школу имени В.И.Ленина, которую успешно закончила в 1935 году. В 1940 году она окончила Минский юридический институт. Член ВКП(б) с 23 июля 1928 года, во время учёбы в институте Мария Борисовна была секретарём его партийного комитета. После окончания института она была направлена на работу в Верховный Суд Белорусской ССР. В первые дни оккупации Минска немецко-фашистскими войсками Мария Борисовна совместно с преподавателем Минского юридического института А. А. Соколовой в общежитии института организовала одну из первых подпольных антифашистских групп. Апогеем подпольной работы М. Б. Осиповой стало её участие в операции «Возмездие», в ходе которой был ликвидирован генеральный комиссар Белоруссии Вильгельм Кубе, ответственный за гибель огромного числа мирных жителей. 20 сентября 1943 года с риском для жизни М. Б. Осипова доставила в Минск из партизанского отряда мину с химическим взрывателем. Взрывом этой мины, заложенной под матрас кровати в спальне Кубе, ночью 22 сентября 1943 года генеральный комиссар был убит.
29 октября 1943 года указом Президиума Верховного Совета СССР Марие Осиповой и ещё двум участницам операции было присвоено звание Героев Советского Союза. После освобождения Белоруссии Красной Армией Мария Борисовна вернулась в Минск и активно участвовала в восстановлении разрушенного войной города. Затем работала в аппарате Председателя Президиума Верховного Совета БССР В.И.Козлова, возглавляла отдел по помилованию при Президиуме Верховного Совета Белоруссии, была членом Верховного Суда Белорусской ССР, членом республиканского Комитета защиты мира. В 1947—1963 годах она избиралась депутатом Верховного Совета Белоруссии 2 — 5-го созывов. Немаловажная заслуга М.Б.Осиповой и в реабилитации членов минского подполья, обвинённых в сотрудничестве с фашистскими оккупантами. Мария Борисовна поручилась более чем за три сотни участников антифашистского движения. После выхода на пенсию она занималась патриотическим воспитанием молодёжи, участвовала в ветеранском движении. 5 февраля 1999 года Мария Борисовна скончалась. Похоронена в Минске на Восточном (Московском) кладбище.