Teorema Fundamental da Númeração

 
Nota de Aula - Sistemas de numeração e aritmética binária

Profa. Patrícia Helaine L. Nascimento - e-mail: paty_landim@yahoo.com.br

Março de 2002


Definição

  • Define-se como sistema de numeração o conjunto de símbolos utilizados para a representação de quantidades e as regras que definem a forma de representação.
  • Um sistema de numeração é determinado fundamentalmente pela base, que é o número de símbolos utilizado. A base é o coeficiente que determina qual o valor de cada símbolo de acordo com sua posição.
  • Os sistemas de numeração atuais são sistemas posicionais, em que o valor relativo de cada símbolo ou algarismo representa depende do seu valor absoluto e da sua posição em relação a vírgula decimal. O valor relativo está diretamente ligado ao valor da base do sistema de numeração.
Exemplo:

15

51

 

Valor absoluto = 5

Valor relativo = 5 x 100 = 5

Valor absoluto = 5

Valor relativo = 5 x 101 = 50

Sistemas de numeração

1. O sistema decimal

  • A base do sistema decimal é o número 10, com a utilização dos seguintes símbolos: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9.
  • Teorema Fundamental da Numeração: teorema que relaciona uma quantidade expressa em qualquer sistema de numeração com a mesma quantidade expressa no sistema decimal. É dado pela fórmula a seguir:

...+ X3 x B3 + X2 x B2 + X1 x B1 + X0 x B0 + X-1 x B-1 + X-2 x B-2 + X-3 x B-3 + ...,

onde B é a base do sistema de numeração, Xi é cada um dos dígitos da quantidade e o índice i indica a posição relativa a vírgula.

Exemplo:

Perg.: Suponhamos a quantidade 201,1 expressa no sistema de numeração de base 3. Qual a representação desta quantidade no sistema de numeração decimal?

Resp.: Pelo TFN, teremos: 2 x 32 + 0 x 31 + 1 x 30 + 1 x 3-1 = 18 + 0 + 1 + 0,333 = 19,333. Portanto, (201,1)3 = (19,333)10

OBS.: O teorema aplicado no sentido inverso (divisões sucessivas) serve para obter a representação de uma quantidade decimal em qualquer outra base.

2. O sistema binário

  • A base do sistema binário é o número 2, com a utilização dos seguintes símbolos: 0 e 1 (BInary digiT).

  • É o sistema de numeração utilizado pelos computadores devido sua fácil representação os circuitos eletrônicos: 0 - ausência de corrente elétrica e 1 - presença de corrente (está convenção é chamada de lógica positiva, se a convenção for invertida, ou seja, 0 - presença de corrente e 1 - ausência, então temos a chamada lógica negativa).

  • Determinados conjuntos de dígitos binários (bits) possuem um nome especial:

    1. Quarteto = 4 bits

    2. Octeto ou Byte = 8bits

    3. Kilobyte = 1024 bytes

    4. Megabyte = 1024 Kbytes

    5. Gigabyte = 1024 Mbytes

    6. Terabyte = 1024 Gbytes

        3. O sistema octal

        • A base do sistema octal é o número 8, com a utilização dos seguintes símbolos: 0 1 2 3 4 5 6 7.

        4. O sistema hexadecimal

        • A base deste sistema é o número 16, com a utilização dos seguintes símbolos: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F.

        • Os valores absolutos de A, B, C, D, E e F são, respectivamente, 10, 11, 12, 13, 14 e 15.

        Aritmética binária

        1. Adição

        Tabela do 0 Tabela do 1
        0 + 0 = 0 1 + 0 = 1
        0 + 1 = 1 1 + 1 = 10 (0 e eleva 1)

        Exemplos:

        Binário Corresp. Decimal   Binário Corresp. Decimal

        2. Subtração

        • Se o subtraendo é maior que o minuendo, então deve-se "pedir emprestado" uma unidade do dígito imediatamente a esquerda. Cada unidade "emprestada" deve ser multiplicada por 2 que é a base do sistema.

        Tabela do 0 Tabela do 1
        0 - 0 = 0 1 - 0 = 1
        0 - 1 = não cabe 1 - 1 = 0

        Exemplos:

        Binário Corresp. Decimal   Binário Corresp. Decimal

        3. Multiplicação

        Tabela do 0 Tabela do 1
        0 x 0 = 0 1 x 0 = 0
        0 x 1 = 0 1 x 1 = 1
        • As somas são binárias!

        Exemplo:

        Binário Corresp. Decimal

        4. Divisão

        • As multiplicações e subtrações são binárias!

        Exemplo:

        • Dividir 100010 (34)10 por 110 (6)10

        • Verificação


        Referência utilizada nesta nota de aula

      1. ALCALDE, Marjorie et al. Informática Básica. São Paulo:
      2. Makroon Books, 1991
      3.                                                   

        Sistemas de Computação - Notas de aula: 02

        Conceitos básicos sobre a representação digital da informação

        Origem: Desde quando o homem começou a utilizar sistemas informatizados deparou com a dificuldade de como representar as informações nos computadores. Para compreendermos melhor este aspecto do funcionamento dos computadores, temos que adquirir conhecimento básico sobre os sistemas de numeração e sobre os modos de representar neles, caracteres, figuras, filmes, etc...

        Zero e Um:

        Inicialmente convém observar, que atualmente, qualquer que seja o tipo de informação a ser representada, ela poderá ser expressa por um conjunto de números zero e um, vez que os computadores, equipamentos eletrônicos, se adaptam muito bem a esta notação, pois com ela podemos representar um dos dois estados físicos possíveis em cada parte de seus circuitos: "EXISTÊNCIA DE TENSÃO" , por convenção representada pelo número 1, e "NÃO EXITÊNCIA DE TENSÃO", por convenção, representada pelo 0.

        Convém lembrar que nem sempre foi assim. Alguns dos primeiros computadores utilizavam o sistema de numeração decimal para representar as informações. Com o tempo, esta prática foi abandonada em favor de uma forma mais prática, pelo menos para os computadores, que podiam ser montados com circuitos mais simplificados.

        Bit, Byte e Palavras:

        Uma vez definido como a informação será representada (conjuntos de zero e um), há necessidade de compreendermos algumas definições:

        BIT: Palavra formada da contração de Binary digiT ( dígito binário ), que corresponde a cada um dos zero ou um que serão usados para representar a informação. Representa a menor unidade de informação armazenada eletronicamente.

        BYTE: Um conjunto de OITO BITS, ou seja, qualquer combinação de oito "zeros" e "uns". A utilização de oitos BITS para representar a informação surgiu por convenção, devido a necessidade de se representar certa quantidade de coisas diferentes. Por exemplo, no mínimo há a necessidade de se representar os 10 números ( 0 até 9 ), as vinte e seis letras do alfabeto ( A até Z ), alguns sinais matemáticos ( + , - , / , * , etc...) e alguns caracteres de controle. Neste caso, já estamos necessitando representar cerca de 60 caracteres diferentes. Esta quantidade pode ser conseguida com 6 BITS, onde o número de combinações possíveis é 64 ( 26 ). Com o passar do tempo, houve a necessidade de se representar também as letra minúsculas ( mais 26 possibilidades ), os caracteres acentuados ( ã, à, â, á, etc...) e vários outros caracteres de controle. Assim, adotou-se como BYTE, a representação com oito BITS, mais prática, que permite a representação de 256 caracteres diferentes ( 28 ).

        PALAVRA: Refere-se à quantidade de bits que a CPU processa de uma só vez. Os microcomputadores usualmente processam palavras de 16 a 64 bits ( dois a quatro bytes ). Exemplificando, se a palavra SISTEMAS for transferida para a memória em um computador que trabalhe com palavras de 8 bits, haverá necessidade de oito operações, já que cada letra é representada por um conjunto de oito bits. No mesmo exemplo, se o computador trabalhar com palavras de 64 bits, a transferência ocorrerá em uma só operação.

        Unidades de Informação mais usadas:

        UNIDADE

        ABREVIAÇÃO

        CÁLCULO

        VALOR

        Bit

        Bit

        Um dos dígitos binários (0,1)

        Byte

        b

        Conjunto de 8 bits

        8 bits

        Kilobyte

        Kb

        2 elevado a 10

        1.024 bytes

        Megabyte

        Mb

        2 elevado a 20

        1.048.576 bytes

        Gigabyte

        Gb

        2 elevado a 30

        1.073.741.824 bytes

        Terabyte

        Tb

        2 elevado a 40

        1.099.511.627.776 bytes

        Petabyte

        Pb

        2 elevado a 50

        1.125.899.906.842.620 bytes

        Exabyte

        Eb

        2 elevado a 60

        1.152.921.504.606.850.000 bytes

        Como um caracter é representado:

        O caractere é a unidade básica de armazenamento de informação, na maioria dos sistemas. Como regra, podemos imaginar que cada um desses caracteres corresponde a um byte. No início do uso dos computadores, cada fabricante utilizava uma forma própria para identificar os caracteres, fato que gerava incompatibilidade entre sistemas desenvolvidos para equipamentos diferentes.

        Com o passar do tempo, a indústria esforçou-se para obter padronizações. Merecem ser citadas a ASCII ( American Standard Code for Information Interchange ) e a EBCDIC ( Extended Binary Coded Decimal Interchange Code).

        O Código ASCII:

        É um código de 7 bits que permite a codificação binária de 27 ou seja 128 caracteres alfanuméricos. O número elevado de caracteres que é possível representar com este código, permitiu que nele fossem incluídos caracteres especiais , normalmente utilizados para controle de impressoras e outros periféricos, ou ainda pelos programas de comunicações.
         

        Posição dos Bits 5, 6 e 7

        Código

        ASCII

        000

        100

        010

        110

        001

        101

        011

        111

          0 1 2 3 4 5 6 7

        0000

        0 NUL DLE SP 0 @ P ' p

        1000

        1 SOH DC1 ! 1 A Q a q

        0100

        2 STX DC2 " 2 B R b r

        1100

        3 ETX DC3 # 3 C S c s

        0010

        4 EOT DC4 $ 4 D T d t

        1010

        5 ENQ NAK % 5 E U e u

        0110

        6 ACK SYN & 6 F V f v

        1110

        7 BEL ETB ´ 7 G W g w

        0001

        8 BS CAN ( 8 H X h x

        1001

        9 HT EM ) 9 I Y i y

        0101

        10 LF SUB * : J Z j z

        1101

        11 VT ESC + ; K [ k {

        0011

        12 FF FS , < L \ l |

        1011

        13 CR GS - = M ] m }

        0111

        14 SO RS . > N ^ n ~

        1111

        15 SI US / ? O - o DEL

        Na transmissão de dados é frequentemente constituído a partir deste código um número de 8 bits, sendo-lhe acrescentado um "0" na posição do bit mais significativo, ou em alternativa um bit de paridade. Assim, e para a letra "C" assinalada na tabela, teríamos após acrescentar um oitavo bit "0" na posição de "maior peso", o código ou "palavra" binária 01000011 ( 43 em Hexadecimal ) .

        Sistemas de Numeração:

        Desde a antiguidade o homem identificou a necessidade de contar seus pertences. Acredita-se que isto tenha ocorrido quando o ser humano abandonou a prática extrativista e nômade para fixar-se em alguma região, plantar seus alimentos e criar seus animais. Como o homem se auxiliava dos dedos das mãos, e talvez dos pés, para contar, é bastante natural que tenhamos nos habituado a usar o sistema decimal, ou seja, representar quantidades utilizando somente dez dígitos diferentes, ( 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9).
        Base de um Sistema de Numeração: Chamamos de base de um sistema de numeração a quantidade de dígitos que são utilizados. Na informática, são bastante utilizadas as seguintes bases:

        Binária (Base 2) dígitos 0 e 1

        Octal (Base 8) dígitos 0,1,2,3,4,5,6 e 7

        Decimal (Base 10) dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9

        Hexadecimal (Base 16) dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E e F

        A tabela a seguir, mostra a relação entre os números, representados nessas diferentes bases:

        Binária

        Octal

        Decimal

        Hexadecimal

        00000

        00

        00

        00

        00001

        01

        01

        01

        00010

        02

        02

        02

        00011

        03

        03

        03

        00100

        04

        04

        04

        00101

        05

        05

        05

        00110

        06

        06

        06

        00111

        07

        07

        07

        01000

        10

        08

        08

        01001

        11

        09

        09

        01010

        12

        10

        0A

        01011

        13

        11

        0B

        01100

        14

        12

        0C

        01101

        15

        13

        0D

        01110

        16

        14

        0E

        01111

        17

        15

        0F

        10000

        20

        16

        10

        10001

        21

        17

        11

        10010

        22

        18

        12

        10011

        23

        19

        13

        10100

        24

        20

        14

        Conforme podemos ver na tabela acima, o número decimal 10,

        ( devemos representá-lo como: 10(10 ) é exatamente a mesma quantia que o número 01010(2 ( base binária ); ou 11(8; ou 0A(16 (base hexadecimal).

        Teorema Fundamental da numeração:

        O Teorema fundamental da numeração nos diz que o valor decimal de uma quantidade expressa em qualquer outra base, pode ser expresso pela seguinte fórmula:

        wpeA.jpg (3707 bytes)

        Onde:

        Base = 10,

        i = posição em relação à vírgula,

        d = nº de dígitos à esquerda da vírgula,

        n = nº de dígitos à direita da vírgula –1,

        dígito = cada um dos que compõem o número.

        Exemplos:

        1992 = 1 x 103 + 9 x 102 + 9 x 101 + 2 x 100

        3,1416 = 3 x 100 + 1 x 10-1 + 4 x 10-2 + 1 x 10-3 + 6 x 10-4

        Como converter números de uma base para outra: Vários métodos podem ser utilizados para esta finalidade. Vamos mostrar dois deles, que permitirão a conversão dos números de uma base para a outra, não importando quais sejam elas. Um dos métodos, utilizará o teorema fundamental da numeração, permitindo que um número de qualquer base seja transformado em decimal. O outro, chamado de método das divisões sucessivas pela base, permitira transformar qualquer número da base decimal para outra base qualquer.

        Usando o Teorema Fundamental da Numeração, poderemos transformar para a base decimal, um valor qualquer expresso em uma outra base. Vejamos os exemplos:

        Binário para decimal

        1 0 1 0 1 1(2 = 1 x 25 + 0 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1 = 43(10

        Octal para decimal

        764(8 = 7 x 82 + 6 x 81 + 4 x 80 = 448 + 48 + 4 = 500(10

        Hexadecimal para decimal

        3E8(16 = 3 x 162 + E x 161 + 8 x 160 = 768 + 224 + 8 = 1000(10

        Usando o método das divisões sucessivas pela base, poderemos transformar um número representado na base decimal para qualquer outra base.

        Decimal para binário

        wpe1.jpg (2596 bytes) 

        Decimal para octal

        wpe2.jpg (2304 bytes)  764

        (8

        Decimal para hexadecimal

        wpe3.jpg (2560 bytes) 3E8

        (16

        Atividades

        Questões:

        Enuncie o Teorema Fundamental da numeração.

        Quais as palavras inglesas que deram origem à palavra BIT?

        Codificar em ASCII as palavras FATEC, INFORMATICA E JAHU.

        Qual o motivo de usarmos uma representação de oito BITS para o BYTE?

        Efetue as mudanças de base necessárias para completar a tabela abaixo:

        BINÁRIO

        OCTAL

        DECIMAL

        HEXADECIMAL

        100111010110

        7246

        2001

        5A09

        Trabalho:

        Pesquise sobre a forma de representação digital de imagens e vídeos.

        Bibliografia:

        Sistemas Administrativos, Carlos Eduardo Mori Luporini, Atlas

        Sistemas de Informação, Sérgio Rodrigues Bio, Atlas

        Informática Básica, E. Alcalde, Makron

        Informática – Novas Aplicações, Fernando de Souza Meirelles, Makron

        Tecnologia de Informação, Sérgio Sousa, Brasport

         

         

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