Calculando a determinante e a inversa de uma matriz 3 x 3

9 de setembro de 2016

Introdução

Mostra as etapas para calcular o determinante e a inversa de uma matriz 3 x 3, usando os cofatores.

Calculando o determinante de A.

Dada uma matriz qualquer A

O determinante é calculado somando cofatores dos elementos da primeira linha, ponderados pelo elemento correspondente \text{a_{i,j}}.

Lembre que o cofator de \text{A_{i,j}}

é o número em que:

Onde $D_{i,j}$ é o determinante da matriz que é obtida da matriz original A,

onde a i-ésima linha e j-ésima coluna são excluídas.

Assim, o determinante é resultado da operação:

Ou seja:

Calculando a matriz inversa de A.

Para calcular a inversa tem que se calcular a matriz adjunta e dividir os seus elementos pelo determinante. A matriz adjunta é composta pelos cofatores obtidos a partir da transposta da matriz original.

A matriz transposta

Os cofatores são os determinantes da matriz (2 x 2) , resultante da exclusão de uma linha (i) e uma coluna (j) da matriz anterior. Os cofatores formam a matriz adjunta, tendo o cuidado de alterar o sinal do cofator de acordo com a fórmula \text{(-1)^(i+j)}

Logo:

Por definição:

Ou seja:

Logo, tem-se:

Calculando o determinante de B.

Dada uma matriz qualquer

O determinante é resultado da operação:

Ou seja:

Calculando a matriz inversa de B.

A matriz transposta

Os cofatores são:

Por definição:

Ou seja:

Logo, tem-se:

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