точка на Weill

За произволен триъгълник точка на Weill (Weill Point) е център на тежестта на контактния триъгълник - с върхове допирните точки на вписаната окръжност в референтния триъгълник. 

За отношението на отсечките WI/IO свързващи точка на Weill (т.W) с центъра на вписаната окръжност (т.I) и отсечката IO свързваща центъра на вписаната и описаната окръжност може да бъде изведена формулата:

WI/IO = r/(3*R) = (-a+b+c)*(a-b+c)*(a+b-c)/(6*a*b*c), където a, b, c са дължини на страните от референтния триъгълник.

Алгоритъмът на построителната задача точка на Weill използва като подалгоритъм построяване на контактен триъгълник и съдържа следните стъпки:

по посочени координати на три не колинеарни точки A, B, C се построява референтния триъгълник;

в цикъл се изчисляват координати за пета на поредната ъглополовяща - тяхната пресечна точка т.I е център на вписаната окръжност в триъгълника;

изчислява се дължина на радиус за вписаната окръжност;

 в цикъл се построява проекция на центъра върху съответната страна на референтния триъгълник - върхове на търсения контактен триъгълник.

Съществуват два основни алгоритъма за изчисляване център на тежестта в триъгълник, медицентър, пресечна точка на медианите:

като пресечна точка на медианите;

като средно аритметично от координатите на върховете му;

На чертежа с цвят син  т.I е център на вписаната окръжност, с цвят зелен т.O е център на описаната окръжност,  с цвят лилав т.W е точка на Weill.

Чрез алгоритъм представен в дистанция - разстояние между две точки се проверява равенството:

WI/IO = r/(3*R)

Дясната двойка равенства се доказват чрез формулите: S = p*r; R = a*b*c/(4*S), формула на Херон S = √(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)).

и от формулите за периметър P = a+b+c и полупериметър:

b + c = P - a = 2*(p - a); a + c = P - b = 2*(p - b); a + b = P - c = 2*(p - c);

r/(3*R) = (-a+b+c)*(a-b+c)*(a+b-c)/(6*a*b*c);

r/R = (-a+b+c)*(a-b+c)*(a+b-c)/(2*a*b*c);

S/(p*R) = 8*(p-a)*(p-b)*(p-c)/(2*a*b*c);

S/R = 4*p*(p-a)*(p-b)*(p-c)/(a*b*c);

S/R = 4*S²/(a*b*c);

1/R = 4*S/(a*b*c);

R = a*b*c/(4*S)

Разгледайте други основни типове  примерни проекти, чието решение ползва теореми и формули от областта изчислителна геометрия. Прочетете допълнителна информация за: медицентър, колинеарни точки, разстояние между две точки.