Quelques exemples de tests d'apprentissage

Test 1 - Apprentissage des paramètres ν et β1 à partir d'une base de données manufacturées

En premier lieu, nous considérons un ensemble de résultats issus d'une simulation avec le jeu de paramètres Θ choisis arbitrairement comme il suit :

• α = 20

• ν = 0.1

• κ = 1

• β0 = 0.25

• β1 = 0.2, β2 = 0.2, β3 = 0.6

Le domaine choisi pour effectuer la simulation est le disque unité (centré en (0,0) et de rayon 1) et nous le maillons avec Gmsh en considérant un hmax = 0.1. Cela donne un maillage composé de 876 triangles et 471 noeuds. La simulation est ensuite faite sur le domaine en temps [0,1] (1 jour). La donnée initiale est notée λ et la donnée finale μ. Si une application du code avec le jeu de paramètres Θ est représentée par la fonction G(Θ, .), alors nous pouvons écrire

μ = G(Θ, λ)

Nous prenons ensuite les fichiers issus de cette simulation contenant l'état initial (à t = 0) et l'état final (à t = 12h) et nous ajoutons un bruit blanc de la forme A * cos(ϕ) où ϕ est variable aléatoire uniforme sur [0,2π] et A une variable aléatoire de Rayleigh d'écart-type σ.

Cela permet de créer un échantillon de couples "donnée initiale - donnée finale" en faisant des tirages pour les variables aléatoires ϕ et A en fixant la valeur de σ. Chaque élément de cet échantillon est noté (λᵢ,μᵢ) et vérifie

(λᵢ,μᵢ) = (λ,μ) + bruit blanc

A ce stade, nous ne pouvons plus garantir l'égalité

μᵢ = G(Θ, λᵢ)

pour le jeu de paramètres Θ fixé ci-dessus. Cependant, nous pouvons rechercher, ou plutôt apprendre un Θₒₚₜ qui minimise la fonction de coût suivante :

Coût(Θ) = Σᵢ || μᵢ - G(Θ, λᵢ) ||²

Ici, nous supposons que seuls ν et β1 sont à apprendre. Les autres paramètres sont fixés ou déduits comme il suit :

• α = 20

• κ = 1

• β0 = 0.25

• β2 = 0.2, β3 = 1-β1-β2

Un autre test d'apprentissage a été mené sur un domaine de simulation en temps [0,14] (2 semaines) au lieu de [0,1] et l'utilisation d'un bruit blanc basé sur σ = 0.5. Il en ressort une estimation de (νₒₚₜ, β1ₒₚₜ) plus proche de (ν, β1) = (0.1, 0.2) que lorsque le domaine en temps est [0,1].