Rigidez y Tensegridades (Jan 11-15, 2021, 13:30-15:00)

Playlist youtube del curso: enlace

(PDF de las clases: ver abajo)

El punto de este curso no es de entrar en detalles de demostraciones, sino de "entregarles un mapa" que permita navigar entre nociones de rigidez en fisica/geometria/computacion/matematica discreta, en temas sobre los cuales a veces falta explorar las lindas conexiones que hay.

Solo en la clase 1 habra demostraciones extendidas, mientras que las otras clases presentan ideas y conexiones entre ellas sin entrar en detalles, y a veces unas demostraciones pequeñas.

Clase 1: Demostramos el teorema de Cauchy, que dice que fijados los largos de lados de un poliedro convexo, el poliedro queda unicamente determinado. Voy a hablar tambien del Teorema de Alexandrov, una especie de "viceversa" de este teorema.

Referencia: el libro "Convex Polyhedra" de Alexandrov, que en sus capitulos 2-4 cubre todo (y mucho mas) de lo que hacemos, en detalle.

Clase 2: Empezamos con ver unas ideas atras de resultados de rigidez y flexibilidad sobre inmersiones isometricas de variedades en el espacio Euclidiano. Esto conecta con la clase 1. Conectaremos tambien esta parte con problemas variacionales en elasticidad, cubriendo las conexiones entre: falta de rigidez <--> perdida de convexidad <--> creacion de microestructura en problemas variacionales.

Referencias: survey de De Lellis-Szekelihidi sobre inmersiones isometricas, notas de Muller sobre la parte de elasticidad (y creacion de microestructuras en materiales).

Clase 3: Tensegridades.

Voy a presentar la base de la teoria matematica de estructuras rigidas de cuerdas y cables. La presentacion sigue el desarrollo desde los trabajos iniciales de Whiteley y Connelly, describiendo unos conceptos base de flexibilidad, hasta los ultimos avances y la conexion con programacion semidefinida por Gortler y otros (solo sketch).

Referencias: el survey intitulado "Rigidity" de Connelly es un buen punto de departida. Ver tambien este otro paper de Connelly. A esto se suman referencias presentadas directamente durante la clase.

Clase 4: Rigidez en problemas de minimo de energia.

Los problemas considerados seran estudio de N cargas en interaccion, para N largo, y problemas de cristalisacion. Esto se conecta directamente con problemas de empaquetamiento, y los minimos forman configuraciones rigidas, para las cuales aparecen condiciones de equilibrio similares que en la teoria de tensegridades.

Referencias: El paper "Rigidity and energy" de Connelly para la conexion con tensegridades. Tocare igualmente los papers "Energy Minimization, Periodic Sets and Spherical Designs" de Coulangeon-Schurrmann y mi paper "Crystallization to the square lattice for a two-body potential" de Betermin- De Luca - Petrache, donde aparecen estabilidad y rigidez (ese ultimo paper fue mi motivacion para estudiar el material de este curso).

Clase 5: Rigidez para sistemas fisicos.

Hare un survey de nociones de rigidez en sistemas reales, especialmente en teoria de materiales, para dar una idea de unos problemas abiertos en rigidez, interesantes para los fisicos. En particular tocare' el estudio del atascamiento, la presencia de estados protegidos, y modelos con tensegridades, y hablaremos mas de como se complica la nocion de rigidez en sistemas infinitos.

Referencias: presentare' varias direcciones durante la clase.

PDF de las clases