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ここには，自分のための勉強ノート（日本語）を置いておきます．間違いや不十分な説明も多くあると思いますので，お気づきの点がありましたら教えてください．
各タイトルからPDFをご覧いただけます．最終更新日：2026年11月13日
環・加群と代数の構成
環・加群と代数の構成
単純加群・半単純加群の基本性質から，等型成分への分解，Artin–Wedderburn の定理，Jacobson 根基による半単純性の判定までをまとめます．有限次元代数と Clifford 代数への応用も扱います．
数列の空間の自己準同型環を用いて，1元の基底と2元の基底をもつ自由加群を具体的に構成します．成分を取り出す写像と0を挿入する写像によって同型を確認し，右加群の場合と基底数不変性にも触れます．
次数付き代数とフィルター付き代数の例から始め，加群の帰納極限を具体的に構成して普遍性を確かめます．有向集合を添字とする場合や代数の場合へと話を広げ，無限変数の多項式環を構成します．
生成元と関係式で与えられた代数の基底を求めるために，簡約と順序の関係を整理し，Bergman の diamond lemma を証明します．応用として，リー代数の普遍包絡代数に対する PBW 定理を導きます．
フィルター付きベクトル空間から次数付きベクトル空間を作る gr 関手が，モノイダル関手になることを証明します．テンソル積の間の自然な同型を構成し，次数付き空間に部分和のフィルターを入れる関手との関係も整理します．
群・代数群・スーパー群
群・代数群・スーパー群
群と表現の定義から始め，有限群の既約表現，指標の直交関係，誘導表現を具体例とともに学ぶ講義ノートです．対称群・交代群の計算に加えて，リー群とリー代数の表現の初歩にも触れます．
連結な分裂簡約群の誘導加群と導来関手を用いて，Bott–Borel–Weil の定理を証明します．ランク1の具体計算からコホモロジーの次数移動を導き，標数0と正標数の一定の領域を扱い，層コホモロジーとの関係も説明します．
正標数の連結分裂簡約群について，ハイパー代数とフロベニウス核を用いて Steinberg のテンソル積定理を証明します．絶対既約性と制限ウェイトに対する作用を調べ，ウェイトの展開に対応する既約表現の分解を導きます．
一般線型スーパー群の群構造と可逆性の判定，Berezinian の乗法性を，ブロック行列の計算から確かめます．奇成分行列に関する行列式恒等式と，標数0でのトレースを用いた別証明も扱います．
ホップ代数・余代数
ホップ代数・余代数
環上の加群とテンソル積から始め，余代数，ホップ代数，ホップ加群，アフィン群スキームとその表現へと進む全15回の講義ノートです．積分と完全可約性を扱い，代数群の性質をホップ代数の言葉で説明します．
直交空間と wedge の性質を用いて余代数の coradical filtration を構成し，網羅性と余積との両立性を証明します．必要な Jacobson 根基の性質と，テンソル積で誘導される写像の核の公式もまとめます．
Yetter–Drinfeld 加群の圏のホップ代数から biproduct を構成し，射影をもつホップ代数の分解定理を証明します．smash 積・smash 余積と余不変部分の構造を式で記述し，群の半直積と Taft 代数を例に扱います．
ホップ代数と余加群の基礎を整理し，誘導余加群の単純 socle を用いて既約余加群を構成します．dense big cell の理論を動機とする条件のもとで分類を行い，連結な分裂簡約群の座標環への適用を説明します．
Angiono の結果を概観し，diagonal type の Nichols 代数に現れる記号と反射を低ランクの例で計算します．Dynkin 図形・PBW 生成元との関係を整理し，braiding の変化を追いながら Weyl groupoid を具体的に扱います．
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