2020.1 Equações Diferenciais Parciais

• Início: Adiado devido ao Covid-19.
• Horário: Terças e quintas de 9:00 às 12:00
• Local: Sala 2 - IM novo
• Planejamento do Curso:
  • Introdução: Ler o Capítulo 1 do livro EVANS, L. C. - Partial Differential Equations. Graduate Studies in Mathematics, V. 19, AMS, USA, 2002.
  • Parte 1: Equações de Primeira ordem (Caso quase-linear e o caso não linear)

Principal referência: JOHN, F. -Partial Differential Equations, 4th edition, Springer-Verlag, New York, 1982. Capítulo 1: Seções 4, 5, 6, 7, 8 e 9. (Ver as notas de aula.)

• Parte 2: Equação de Laplace, equação do Calor e equação da onda .

Principal referência: Capítulo 2 do livro EVANS, L. C. - Partial Differential Equations. Graduate Studies in Mathematics, V. 19, AMS, USA, 2002.

• Parte 3: Em construção
• Parte 4: Em construção

• Avaliações:

Listas:

Prova 1:

Prova 2:

Prova 3:

• Ementa: Equações Diferenciais Parciais (EDP): Definições e notações. Classificação das EDP. Equações de primeira ordem: Equações quase-lineares. Problema de Cauchy. Superfícies características. Problema de Cauchy para uma EDP de primeira ordem em duas variáveis. Equações de ordem m: Teoria local de existência. O teorema de Cauchy-Kowalevski. O Teorema de Unicidade de Holgreem. Separação de Variáveis: O problema de condução de calor em uma barra. O problema da corda vibrante com extremos fixos. O problema de Dirichlet no disco. Séries de Fourier: Definição. Desigualdade de Bessel e Identidade de Parseval. Decaimento dos coeficientes de Fourier. Critérios de convergência pontual. Convoluções. Identidades Aproximadas. Os núcleos de Dirichlet e Féjer. Convergência em L2. Equações Elípticas: Equação de Laplace em espaços n-dimensionais. Solução fundamental. Propriedades básicas das funções harmônicas. Princípios do Máximo e Unicidade. Estimativas de energia. Os problemas de Dirichlet num semi-espaço e numa bola. Regularidade das soluções. Função de Green. O método de Perron. Equações Parabólicas: Equação do Calor em espaços n-dimensionais. Solução fundamental. Problema Cauchy. Princípio do máximo. A equação não-homogênea. Unicidade e regularidade das soluções. Estimativas de energia. Equações hiperbólicas: Equação da Onda em espaços n-dimensionais. O problema de Cauchy. Estimativas de energia e unicidade das soluções. O método das médias esféricas para n-ímpar. O método de abaixamento de Hadamard para n-par. Perda de Regularidade em dimensão n>1. Equação não-homogênea. Princípio de Duhamel e decaimento da solução. Transformada de Fourier: O operador Trasformada de Fourier em L1. O espaço de Schwartz e propriedades da Transformada. Transformada de Fourier em L2. Teorema de Plancherel. Distribuições Temperadas. Aplicações às EDP.
• BIBLIOGRAFIA:

1. EVANS, L. C. - Partial Differential Equations. Graduate Studies in Mathematics, V. 19, AMS, USA, 2002.
2. FIGUEIREDO, D.G. - Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais. 4ª Edição, Projeto Euclides, IMPA, CNPq, Rio de Janeiro, 1997.
3. FOLLAND, G.B.- Introduction to Partial Differential Equations, 2nd edition, Princeton University Press, 1995.
4. IÓRIO JR, R.J. & IÓRIO, V.M. - Equações Diferenciais Parciais: Uma Introdução. Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 1988.
5. JOHN, F. -Partial Differential Equations, 4th edition, Springer-Verlag, New York, 1982.
6. PETROVSKY, I.G. - Lectures on Partial Differential Equations, Dover Publications, Inc., New York, 1991.

2019.1 Equações Diferenciais Parciais

• Ementa: Equações Diferenciais Parciais (EDP): Definições e notações. Classificação das EDP. Equações de primeira ordem: Equações quase-lineares. Problema de Cauchy. Superfícies características. Problema de Cauchy para uma EDP de primeira ordem em duas variáveis. Equações de ordem m: Teoria local de existência. O teorema de Cauchy-Kowalevski. O Teorema de Unicidade de Holgreem. Separação de Variáveis: O problema de condução de calor em uma barra. O problema da corda vibrante com extremos fixos. O problema de Dirichlet no disco. Séries de Fourier: Definição. Desigualdade de Bessel e Identidade de Parseval. Decaimento dos coeficientes de Fourier. Critérios de convergência pontual. Convoluções. Identidades Aproximadas. Os núcleos de Dirichlet e Féjer. Convergência em L2. Equações Elípticas: Equação de Laplace em espaços n-dimensionais. Solução fundamental. Propriedades básicas das funções harmônicas. Princípios do Máximo e Unicidade. Estimativas de energia. Os problemas de Dirichlet num semi-espaço e numa bola. Regularidade das soluções. Função de Green. O método de Perron. Equações Parabólicas: Equação do Calor em espaços n-dimensionais. Solução fundamental. Problema Cauchy. Princípio do máximo. A equação não-homogênea. Unicidade e regularidade das soluções. Estimativas de energia. Equações hiperbólicas: Equação da Onda em espaços n-dimensionais. O problema de Cauchy. Estimativas de energia e unicidade das soluções. O método das médias esféricas para n-ímpar. O método de abaixamento de Hadamard para n-par. Perda de Regularidade em dimensão n>1. Equação não-homogênea. Princípio de Duhamel e decaimento da solução. Transformada de Fourier: O operador Trasformada de Fourier em L1. O espaço de Schwartz e propriedades da Transformada. Transformada de Fourier em L2. Teorema de Plancherel. Distribuições Temperadas. Aplicações às EDP.
• BIBLIOGRAFIA:

1. EVANS, L. C. - Partial Differential Equations. Graduate Studies in Mathematics, V. 19, AMS, USA, 2002.
2. FIGUEIREDO, D.G. - Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais. 4ª Edição, Projeto Euclides, IMPA, CNPq, Rio de Janeiro, 1997.
3. FOLLAND, G.B.- Introduction to Partial Differential Equations, 2nd edition, Princeton University Press, 1995.
4. IÓRIO JR, R.J. & IÓRIO, V.M. - Equações Diferenciais Parciais: Uma Introdução. Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 1988.
5. JOHN, F. -Partial Differential Equations, 4th edition, Springer-Verlag, New York, 1982.
6. PETROVSKY, I.G. - Lectures on Partial Differential Equations, Dover Publications, Inc., New York, 1991.

Provas aplicadas e Lista de exercícios