Espacio de Trabajo Matemático

El Modelo teórico de los ETM se construyen con base en el conocimiento matemático y la experiencia del sujeto al hacer matemáticas; la actividad del matemático se usa como modelo para el trabajo matemático y estudiar el espacio donde éste se desarrolla. Se apoya en lo que decía Thurston (1994), el cual propuso definir las matemáticas como la disciplina más pequeña que satisface las siguientes condiciones:

-Matemática incluye números enteros y la geometría del plano y de los sólidos;

-Las matemáticas son lo que los matemáticos estudian;

-Los matemáticos son aquellos seres humanos que permiten avanzar en el entendimiento humano de las matemáticas.

El objetivo de los Espacios de Trabajo Matemático (ETM, ver Kuzniak, 2006, 2011; Kuzniak; Rauscher, 2011) es proporcionar una herramienta para el estudio específico del trabajo matemático de los estudiantes y profesores. El espacio abstracto así concebido se refiere a una estructura organizada que permite observar las actividades de los individuos cuando se enfrentan a los problemas matemáticos. En el caso de las matemáticas escolares, estas personas generalmente no son expertos, son los estudiantes, experimentados o principiantes.

Los ETM se articula en dos planos: uno de naturaleza epistemológica, en relación estrecha con los contenidos matemáticos del ámbito estudiado y, el otro, de naturaleza cognitiva, que concierne al pensamiento del sujeto que resuelve tareas matemáticas.

En el plano epistemológico aparecen tres componentes en interacción, características de la actividad en su dimensión puramente matemática: un espacio real y local como soporte material, con un conjunto de objetos concretos y tangibles (representamen); un conjunto de herramientas o software de dibujo o de cálculo (artefactos); un sistema teórico de referencia basado en definiciones, teoremas, propiedades y axiomas (referencial). En el plano cognitivo aparecen tres componentes, en estrecha relación con las componentes del nivel epistemológico, las cuales provienen de considerar el hacer matemática como una actividad humana: la visualización relativa a la representación del espacio y al soporte material; la construcción que depende de los instrumentos y técnicas asociadas y la demostración apoyada en el proceso discursivo de validación, basados en el referencial teórico.

Génesis

Tres génesis se han identificado en este modelo: semiótica, instrumental y discursiva. La génesis semiótica es el proceso asociado con los signos y el representamen que permite pasar de una perspectiva sintáctica a una perspectiva semántica de objetos matemáticos organizada en la representación semiótica. Proporciona el estado de los objetos tangibles y sus operaciones. (Duval, 2005), en la Geometría, menciona. La génesis instrumental permite hacer los artefactos operativos en el proceso de construcción en el Espacio de Trabajo Matemático. Seguimos la distinción realizada por (Rabardel, 1995) al considerar como un instrumento dos componentes: un artefacto, material o simbólica, y los esquemas de uso asociados. En esta perspectiva, la palabra instrumento tiene un valor cognoscitivo: un artefacto se convierte en un instrumento cuando el sujeto construye una serie de esquemas para su uso. La génesis discursiva tiene como propósito proceder a la validación del proceso bidireccional: un razonamiento discursivo apoyado en las propiedades del referencial teórico y de otra, la identificación de propiedades y definiciones que se deben incluir en el marco de referencia después de ser realizado un tratamiento instrumental o semiótico.

Circulaciones y planos verticales

Los planos verticales introducidos, de este modo, se podrían conectar con las diferentes fases del trabajo matemático implementado en la ejecución de una tarea. De hecho, la ejecución efectiva de estas fases definirá un cierto número de competencias matemáticas cognitivas fundamentadas en la coordinación de las génesis en sus relaciones con el plano epistemológico (ver Figura 1). Basado en el estudio de (Gómez-Chacón, Kuzniak, Vivier, 2016) presentamos estos planos con objeto de avanzar en el conocimiento de ETM. El plano [Sem–Dis] es asociado a las génesis semiótica y discursiva de la prueba matemática. Una estrecha relación entre la génesis semiótica y la génesis discursiva de la prueba es crucial en el desarrollo del trabajo matemático que supera una visión simple icónica de los objetos. El plano [Ins–Dis] es asociado a la génesis discursiva de prueba y a la génesis instrumental. En este plano, el punto crucial es la cuestión de la prueba que se basa en experimentos o en la argumentación deductiva pura. Si se sacan conclusiones a partir de datos dados por instrumentos, vamos a hablar de una prueba experimental. El plano [Sem–Ins] es asociado a una génesis semiótica y a la génesis instrumental. Se pueden observar dos formas de trabajar: la que está más orientada hacia la construcción de los resultados (figuras, gráficos) que cumplen algunas condiciones y otra hacia la interpretación de los datos aportados por los artefactos.