Les mathématiques permettent l'accès à la pensée formelle, le développement d'un raisonnement hypothético-déductif élaboré pour comprendre les choses et appréhender le monde de façon abstraite.

( Dolle1991) ( Piaget et Inhelder 1955)

Cette accès à la pensée abstraite renvoie à la capacité de se dégager d'une situation concrète pour envisager le réel comme un cas particulier de tous les possibles. Plus largement, c'est pouvoir se représenter des situations autres que celles que l'on vit dans l'instant présent pour envisager d'autres réels possibles, d'autres stratégies, d'autres solutions aux problèmes pour les résoudre.

La pensée formelle est necessaire aux apprentissages mais également dans la construction identitaire de l'individu qui peut alors envisager différentes alternatives possibles ou envisager plusieurs projets de vie sans les expérimenter concrètement.

(Christine Cannard)

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Cédric Villani est un mathématicien français, directeur de l'Institut Henri-Poincaré et professeur à l'université Claude-Bernard-Lyon-I.

Il a reçu la médaille Fields en 2010 (équivalent du Prix Nobel pour les mathématiques)

Conférence au Congrès Association Nationale des Conseillers Pédagogiques et Autres Formateurs - Le Havre - 2016 -

Cedric Villani : « Pour la première fois dans notre histoire, des enjeux majeurs se jouent sur des questions mathématiques »

De plus en plus de secteurs dépendent des algorithmes. Faut-il s’attendre à ce que ces formules pèsent de plus en plus dans notre société moderne ?

En soi, le principe n’est pas nouveau en soi. Cela fait cinquante ans que nous confions ce genre de problèmes à l’algorithmique. Ce qui est différent maintenant, c’est l’ampleur d’une part des possibilités et du nombre de secteurs auxquels on l’applique, ainsi que les attentes que l’on y place. Les entreprises se posent sans arrêt ce genre de questions : les distributeurs d’accès téléphoniques se demandent comment distribuer au mieux les ressources entre différents initiateurs, où placer les antennes relais, comment faire la distribution d’eau et ainsi de suite et à chaque fois, ce sont des algorithmes d’optimisation qui reposent sur un paquet de variables.

La tarification des trains, des billets d’avions, des choses comme cela sont des problèmes algorithmiques à résoudre qui peuvent faire intervenir des centaines de milliers de variables. Ce qui est nouveau, c’est la variété des situations auxquelles on l’applique. Avec l’avènement de gigantesques masses de données, nous sommes poussés à faire beaucoup plus confiance qu’avant aux raisons statistiques. On ne cherche pas la réponse sûre : beaucoup de machinese-learning, comme on dit, font intervenir des méthodes basées sur la comparaison de gigantesques bases de données pour trouver des solutions probables, puis on met dedans des attentes considérables.

Le secteur qui a basculé de façon spectaculaire et un peu avant les autres dans ce genre avec tout et n’importe quoi, certainement, c’est la finance. La finance algorithmique qui commence dans les années 80 et qui se développe dans les années 90-2000 est arrivée à un degré de complexité et de sophistication telle que personne ne contrôle ce qui se passe.

N’évite t-on pas parfois la question de la responsabilité ? Par exemple, Facebook explique vouloir utiliser les algorithmes pour apporter une meilleure expérience aux utilisateurs, en même temps, la firme américaine les utilise pour plaire à la censure chinoise…

Le bon mathématicien est celui qui programme des algorithmes efficaces. Certains ingénieurs sont de très bons expérimentateurs, des explorateurs, mais leur rôle n’est pas moral. Il font ce qu’ils ont en tête, et cela va être à coup sûr un mix entre la volonté, la curiosité, la volonté de créer quelque chose de ce qui est scientifiquement intéressant, et la volonté de trouver des usages qui amélioreront l’expérience des clients, c’est le business model des entreprises. D’autres se chargeront de son utilisation. Ce ne sont pas les algorithmes qui sont bons ou mauvais au sens moral, c’est l’usage que l’on en fait.

Les compagnies américaines se basent de plus en plus sur les algorithmes pour caractériser un individu. Qu’en pensez-vous ?

C’est une tendance en marche depuis un certain nombre d’années déjà, et qui progresse. C’est la marche du monde, cela concerne toutes les entreprises. Les gouvernements utilisent les algorithmes pour détecter les fraudes dans leurs impôts, les assurances s’en servent pour évaluer leurs performances. C’est ce qui est à l’œuvre, les Américains sont les premiers à le faire et ils ont gardé une avance nette sur le reste du monde et cela se répand partout.

L’ingénieur français Paul Duan dit que le chômage pourrait être résolu grâce à un algorithme. L’algorithme peut-il apporter une solution à ce genre de cas ?

Sur le principe de l’idée de Duan, il y a un problème d’adéquation entre les demandeurs d’emplois et les emplois eux-mêmes. L’algorithme permet de faire de l’acceptation automatique de façon efficace.

Par exemple l’an dernier, il y a eu toute une séquence compliquée autour de l’algorithme post-bac. Il s’agit de trouver des appareillements automatiques en fonction des compétences, des mérites et des souhaits – classes préparatoires ou universités. La masse de données est telle que le service humain perdrait un temps considérable à gérer cela. Visiblement, l’algorithme en cours n’est pas parfait, le JO n’a pas voulu communiquer dessus, c’est unpataquès.

D’après le classement Pisa, les élèves Français sont les plus mauvais matheux d’Europe. Comment l’expliquer ?

On ne peut pas dire ça comme cela, car c’est très réducteur. En France, la moyenne est très mauvaise et effectivement, cela cache de très fortes disparités. Celles-ci sont parmi les plus fortes de l’OCDE. Donc, dit de façon crue, vous avez du très bon et du très mauvais. De plus, et ce particulièrement en France, il y a sans doute un malaise d’ensemble dans l’Éducation nationale. Beaucoup d’enseignants sont démotivés, ne sont pas assez formés.

Aux États-Unis aussi, les élèves peinent en maths. Les éducateurs s’interrogent sur la santé des universités publiques…

L’université publique est en très mauvaise santé aux États-Unis, il n’y a pas de doute là dessus. Cela s’inscrit dans un contexte d’ensemble du service public. En Californie, cela est très net à ce niveau. C’est une tendance générale de l’Amérique qui a du mal en général à construire un service public, et donc une éducation de qualité. On le voit dans l’Obamacare, mais c’est pareil dans d’autres domaines.

J’ai vécu plusieurs années en Californie, je dois dire que cela a été une étape très importante de ma carrière. Il y a trente ans, c’était Berkeley la grande université californienne, maintenant c’est Standford. L’université publique a baissé et l’université privée a grimpé.

Est-ce un paradoxe, dans le pays abritant le plus grand nombre de médaille Fields ?

Non, ce n’est pas un paradoxe car d’une part les résultats moyens laissent la possibilité aux gens exceptionnels de bien se débrouiller, et ce sont eux qui remportent la médaille Fields. Des Américains comme Nash, Curton, sont tellement au-dessus de tout que quelque soit le système qui les abritent, ils se débrouilleront bien. Pour le reste, le système scientifique américain, sans importation et immigration, s’écroulerait. Il en va de la pérennisation scientifique de l’Amérique.

Y a t-il une différence de culture entre les milieux scientifiques américains et français ?

Extrêmement différente. Il faut savoir que la France est un pays qui a 400 ans de traditions mathématiques, tandis que l’Amérique n’arrive dans cette discipline qu’au milieu du XXe siècle. Aux US, c’est une discipline jeune dans laquelle une grosse partie des recrutements se fait par importation, et avec des moyens phénoménaux. Les grandes universités américaines, dans l’ensemble des disciplines scientifiques, sont le point de rencontre du monde entier, cela confère une force et une capacité d’action.

Les États-Unis ont une très longue tradition d’accueil et une culture propre. Les sommes d’argent qui circulent là-bas sont sans comparaison avec ce que l’on voit passer dans les universités françaises. Les notions de campus et de mécénat se posent de façon bien plus importantes.

Cependant, on retrouve chez l’un et chez l’autre l’inspiration vers les grands idéaux : quand on évoque la Révolution française ou la construction des États-Unis, ils ont des points communs, et cela rend les deux pays très proches. Cela se retrouve un peu en mathématiques. La grande force de l’enseignement américain n’est pas tant la transmission de compétences, mais la transmission de confiance. C’est important. Tout le système s’emploie à cela et les enseignants américains savent donner confiance à leurs élèves

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Platon expliquait lui aussi qu’il existe une « beauté dans le raisonnement mathématique ». Peut-on encore le citer aujourd’hui pour parler de cette science ?

Tout est plus compliqué. Platon voit une beauté parfaite dans la discipline mathématique, et il n’y a pas de raison que cela change ! En revanche, notre époque est celle où les applications sont beaucoup plus considérable. Il ne s’agit plus seulement d’un moyen d’accéder à quelque chose de vrai et de beau, il s’agit aussi de quelque chose d’efficace. Et l’utilisation des algorithmes le montre, effectivement.

Mais il n’empêche que régulièrement, dans des conférences publiques, je prends un moment pour expliquer l’idée de base qui a permis à Google de devenir le plus puissant moteur de recherche de son époque et de partir à la conquête du monde. J’explique qu’il fallait avoir compris ce que c’est qu’une marche aléatoire sur un graphe orienté et que faire de la récurrence de cette marche aléatoire. Donc c’est une vraie idée mathématique. En même temps, elle s’applique à un problème concret et quotidien. C’est une vraie, belle idée mathématique et que Platon, je l’espère, n’aurait pas renié !

C’est vrai qu’aujourd’hui, les mathématiques s’insèrent dans un contexte de compétition technologique, mais ce n’est plus une discipline s’intéressant à la science en général… N’a-t-on pas perdu quelque chose ?

Ce n’est pas propre aux sciences mathématiques. Toutes les sciences se sont diversifiées, complexifiées, et il est devenu impossible d’être universel. Vous savez, on ne trouve même plus de physiciens qui ne connaissent que de la physique, ou des mathématiciens qui ne connaissent que les maths… Même, les physiciens connaissent quelques pourcentages demathématiques et réciproquement. Le volume est tellement grand avant que vous ne pouviez pas avoir autre chose. Il y a une fragmentation, une partialisation à l’œuvre. C’est un contexte beaucoup plus morcelé, dans lequel toutes les sciences se sont mises en route et en résonance avec la technologie pour pouvoir accomplir des choses qui étaient juste impossibles avant.

Le fait que la compétition soit venue avec cela, c’est une question de modèle économique que l’on pourrait argumenter. Mais les sciences, de façon générale, s’associent avec les technologies pour arriver à conceptualiser, à comprendre, à décrire, à reproduire. Les mathématiques ont pris leur part de tout le reste ; comme c’est une discipline abstraite, elle peut s’associer à n’importe quelle autre. C’est sa force. Et c’est pour ça qu’on assiste à un gros développement mathématique : on le retrouve dans d’autres domaines conclusifs parce qu’on est dans un contexte d’économie compulsive de technologie compétitive.

Il existe aujourd’hui des capteurs sensoriels capables de caractériser l’humain sous tous les angles ou d’analyser son comportement... le fait de vouloir pallier les insuffisances humaines ne nous amène t-il pas hors de notre nature ?

C’est vrai que pallier les questions humaines est une perte de nature humaine, on peut argumenter cela. L’homme est sorti de l’état de nature il y a très longtemps. Il a cherché à cultiver la terre pour pallier. Et à chaque fois, cela nous a conduit à une perte de ses caractéristiques. Notre ancêtre agriculteur se débrouillait bien plus mal dans les bois que nos ancêtres chasseurs cueilleurs. Nous avons aujourd’hui une mémoire qui est bien plus mauvaise que celle des Grecs qui apprenaient d’abord l’écriture et des textes qui comportaient plusieurs dizaines de milliers de lignes.

Au fur et à mesure, on a remplacé certaines de nos capacités par des auxiliaires technologiques, des choses encodées, des langages. On a fait travailler la nature et également la force du collectif. C’est un mouvement d’ensemble, millénaire, non propre à l’époque actuelle. Il se trouve cependant exacerbé par la grande rapidité de l’évolution de l’algorithme, et cela parce que ça s’applique à tous. C’est une évolution très rapide actuellement, c’est cela qui est très nouveau.

Le grand décollage des mathématiques modernes arrive au XVIIe siècle, avec l’étude des prédictions ; et à partir de là, les choses sont allées très vite. Mais c’est la révolution informatique qui a tout changé dans la relation avec les mathématiques. Par symbolique, on peut dire que, depuis les années 1940, pour la première fois dans notre histoire, des enjeux majeurs se jouent en bonne partie sur des questions mathématiques.

David Vives - Epoch Times 21/01/2017

Source : http://www.epochtimes.fr/cedric-villani-premiere-histoire-enjeux-majeurs-se-jouent-questions-mathematiques-23528.html

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Cryptographie et nombres premiers

A quoi servent les mathématiques ? Voilà le sujet principal de cette conférence de Daniel Perrin, destinée aux lycéens et à leurs professeurs. Depuis les prouesses architecturales de la Grèce antique jusqu’aux problèmes de la protection des données numériques en passant par la datation des peintures célèbres ou les jeux télévisés et les dessins animés, nous apprendrons à reconnaître où se cachent les mathématiques autour de nous et pourquoi elles sont utiles et vivantes.

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Le grand mystère des mathématiques