ΑΠΑΝΤΗΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Α

[πίσω]

ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1

i) Ηεξίσωση της απομάκρυνσης θα έχει τη μορφή  Χ=Αμη(ωt+φο),

 όμως ω=2πf=0,5 π rad/sec

 άρα Χ=2 ημ(0,5πt+φο )

Όταν t=0 έχω χ=0

οπότε 0=2ημφ0

     ή   ημφο=ημ0 

       φ 0 =2κπ+0 (1)  ή  φ0 =2κπ+π-0  (2)

Από την (1)  για κ=0 προκύπτει φ0=0  (απορρίπτεται)

Από την (2) για κ=0 έχω φ0 = π rad (δεκτή) γιατί τότε συν φ0 < 0, και υ < 0 (το σώμα κινείται προς αριστερά)

ii) Είναι Χ=Αημ(ωt+φ0)

    Αρα  Χ=2ημ(0,5t+π) με χ σε cm, και t σε sec

ιιι) Ισχύει ότι α= -- ω2χ

Tη χρονική στιγμή t=3sec ισχύει:

      a= -- (0.5π)2 * 2 ημ (0,5π * 3 + π)

      a = -- π2/2 ημ π/2

      a = -- π2/2 cm/sec

ΑΠΑΝΤΗΣΗ  2

α) Τη χρονική στιγμή t=0το φορτίο του πυκνωτή είναι μέγιστο θετικό (q=+Q) και η χρονική εξίσωση είναι: q = Q συνωt (1)

     Η γωνιακή συχνότητα ω = 1/(LC)1/2  και ω = 10 4 rad/sec  Η περίοδος είναι ω=2π / Τ ή Τ = 2π *10 -- 4 sec . 

     Αντικαθιστώντας στη σχέση (1) εχω τη χρονική εξίσωση του φορτίου:  q = 2*10 -- 4 συν ωt (S.I)

 Η χρονική εξίσωση της έντασης του ρεύματος εχει τη μορφή : i = -- I ημ ωt (2)

όπου Ι  η μέγιστη τιμή της έντασης του ρεύματος  Ι =ωQ ή ι = 104 rad/sec *2*10--4 C ή Ι=2Α

Αντικαθιστώντας στη σχέση (2) εχω τη χρονική εξίσωση της έντασης του ρεύματος :  i = -- 2 ημ(10  4 t )  (S.I)  (2)

β) Αφού το πηνίο είναι ιδανικό και έχει κοινά άκρα με τον πυκνωτή η ΗΕΔ απο αυτεπαγωγή που αναπτύσεται στο πηνίο είναι ίση με την τάση στα άκρα του πυκνωτή.Αρα Εαυτ = Vc = q/C  (Ισχύει κάθε χρονική στιγμή)

Τη χρονική στιγμή t1 = 3π/4*10--4 sec το φορτίο του πυκνωτή είναι:

      q1 = Q συν ωt1  ή q1 =2*10--4 συν (104 * 3π/4 * 10--4 ) C ή q1 = -- 2 1/2 * 10--4 C  (1)

  Αρα τη χρονική στιγμή t1 είναι:E αυτ Ι t1 = VC I t1 = q1/C =--21/2  *10--4 C  / 10*10--6 F  ή   E αυτ Ι t1=- 10* 21/2   V

  Τα άκρα του πηνίου και του πυκνωτή που συνδέονται μεταξύ τους  έχουν κάθε στιγμή την ίδια πολικότητα.

  Άρα μπορούμε να βρούμε την πολυκότητα αν γνωρίζουμε την πολικότητα του πυκνωτή.

  Για να βρούμε την πολικότητα του πυκνωτή τη χρονική στιγμή t1 εργαζόμαστε ως εξής:

  Bρίσκουμε το πρόσημο του φορτίου q1του πυκνωτή τη χρονική στιγμή t1 και το συγκρίνουμε με το πρόσημο του φορτίου του πυκνωτή τη

  xρονική στιγμή t=0.

  Επειδή -όπως υπολογίσαμε παραπάνω- το φορτίο q1είναι αρνητικό ,άρα τη χρονική στιγμή t1 η πολικότητα του πυκνωτή είναι αντίθετη από

  αυτή που είχε τη χρονική στιγμή t=0.

  Άρα η ΗΕΔ από αυτεπαγωγή τη χρονική στιγμή t1 θα έχει πολικότητα που φαίνεται στο σχήμα.

Το φορτίο q1 τη χρονική στιγμή t1 είναι αρνητικό σχέση (1) και από τη σχέση (2)  αντικαθιστώντας t=t1έχω τελικά i= -- 2 1/2 Α.

Αρα ο πυκνωτής ΦΟΡΤΙΖΕΤΑΙ.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ 3

α) Τη χρονική στιγμή t1 η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου ισούται με μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι η ένταση του ρεύματος ισούται με μηδέν, οπότε το φορτίο του πυκνωτή είναι μέγιστο. Άρα τη χρονική στιγμή t1 είναι:

q1=+Q ή Q = 10--4 C

 Τη μεταγενέστερη χρονική στιγμή t2 η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή ισούται με μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι το φορτίο του πυκνωτή τη χρονική στιγμή t2 ισούται με μηδέν, οπότε την ίδια στιγμή η ένταση του ρεύματος είναι μέγιστη. Άρα τη στιγμή t2 είναι:

i =+ I ή Ι = 0,2 Α

Τη χρονική στιγμή t1είναι i1 = 0, ενώ τη χρονική στιγμή t2 είναι i2 = + Ι. Αφού στη χρονική διάρκεια αμέσως μετά τη χρονική στιγμή t1 και μέχρι τη στιγμή t2 δε συμβαίνει μηδενισμός της έντασης του ρεύματος, η ζητούμενη χρονική διάρκεια ισούται με T/4 . Άρα:

Δt = t 2 -- t 1 =T/4

Ισχύει:

I = ω Q    ή    ω = Ι / Q   ή   ω =  2*10--3 rad/sec

  Είναι:

ω = 2π/Τ  ή Τ = π * 10--3 sec

 Συνεπώς:

Δt = t2--t1 = T/4   ή    Δt = π/4*10--3 sec

 β) Η ΗΕΔ από αυτεπαγωγή που εμφανίζεται στο πηνίο ισούται με την τάση στα άκρα του πυκνωτή.

 Συνεπώς για τη χρονική στιγμή t3 είναι:

Για να βρούμε το φορτίο του πυκνωτή τη χρονική στιγμή t3 που η ένταση του ρεύματος ισούται με i3=-0,1 Α, χρησιμοποιούμε την Α.Δ.Ε. για την ηλεκτρική ταλάντωση:

  Επίσης ισχύει ότι:

Αντικαθιστώντας τις τιμές των μεγεθών στη (1) προκύπτει:

γ) Τη στιγμή t=t1 =0 είναι q= + Q = + 10 -- 4 C. Συνεπώς η χρονική εξίσωση του φορτίου του πυκνά είναι της μορφής q =Qσυνωt. Ισχύει:

ΠΡΟΣΟΧΗ:

Όταν γνωρίζουμε την ένταση ί του ρεύματος μια χρονική στιγμή και ζητάμε να βρούμε το φορτίο q του πυκνωτή την ίδια χρονική στιγμή ή αντίστροφα, τότε χρησιμοποιούμε την Α.Δ.Ε. για την ηλεκτρική ταλάντωση

ΑΠΑΝΤΗΣΗ 4

1)Τελικά το πηνίο θα διαρρέεται από ρεύμα σταθερής έντασης και στο πηνίο δεν θα υπάρχει ΗΕΔ από αυτεπαγωγή. Οπότε και η τάση του πυκνωτή θα είναι μηδενική. Έτσι:

2) i)Τη στιγμή που i=5 Α, η τάση στους πόλους της γεννήτριας είναι Vπ =Ε - ir = 20 - 5 •2 =10 V, τόση είναι επίσης και η τάση στους οπλισμούς του πυκνωτή, οπότε:

q = CV =2*10--6*10 C= 20μC

ii) Τη στιγμή που ανοίγουμε τον διακόπτη, ο πυκνωτής είναι φορτισμένος με την πολικότητα που φαίνεται στο σχήμα, ενώ το πηνίο διαρρέεται από ρεύμα, επίσης όπως στο σχήμα. Λόγω αυτεπαγωγής, το πηνίο θα συνεχίσει να διαρρέεται από ρεύμα, της ίδιας φοράς, οπότε ο πυκνωτής θα αρχίσει να εκφορτίζεται. Έτσι η ενέργεια του πυκνωτή μειώνεται ενώ του πηνίου αυξάνεται. Συνεπώς αυξάνεται και η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο.

 iii) Η ΗΕΔ που αναπτύσσεται στο πηνίο, αμέσως μετά το άνοιγμα του διακόπτη, είναι ίση με την τάση στους οπλισμούς του πυκνωτή, δηλαδή:

Σημείωση : Αμέσως μετά το άνοιγμα του διακόπτη, αναπτύσσεται στο πηνίο ΗΕΔ λόγω αυτεπαγωγής με πολικότητα όπως στο παρακάτω σχήμα. Με άλλα λόγια VΑ>VΒ, αφού VΑ-VΒ= Vο= 10 V            

 3) Η περίοδος της ηλεκτρικής ταλάντωσης είναι:

ΑΠΑΝΤΗΣΗ 5

Η εμπέδηση του πηνίου είναι ΖL=Lω=15Ω, του πυκνωτή ΖC= 1/Cω = 1/2·10-3·100Ω=5Ω, οπότε:

και το κύκλωμα διαρρέεται από ρεύμα πλάτους:

Οπότε η εξίσωση της έντασης του ρεύματος είναι:

Έτσι το διανυσματικό διάγραμμα των τάσεων είναι το παρακάτω

1)      Με βάση τα προηγούμενα έχουμε λοιπόν:.

Προφανώς οι δύο ενέργειες δεν είναι ίσες.

2) Τη χρονική στιγμή t1 έχουμε:

Η γεννήτρια προσφέρει ενέργεια στο κύκλωμα με ρυθμό:

Η ισχύς που μετατρέπεται σε θερμότητα στον αντιστάτη είναι:

Ισχύς του πηνίου: 

Ισχύς πυκνωτή:

Τι δείχνουν αυτές οι τιμές της ισχύος;

Η γεννήτρια προσφέρει ενέργεια στο κύκλωμα με ρυθμό 40J/s, από αυτά 20J/s μετατρέπονται σε θερμότητα στον αντιστάτη και τα υπόλοιπα 20J/s αποθηκεύονται στο μαγνητικό πεδίο του πηνίου. Επίσης ο πυκνωτής εκφορτίζεται χάνοντας ενέργεια με ρυθμό 10J/s, η οποία επίσης αποθηκεύεται στο πηνίο (20W+10W= 30W). 

Εδώ κρύβεται η διατήρηση της ενέργειας και όχι μεταξύ πηνίου – πυκνωτή.

Σχόλιο: Πού γίνεται συνήθως το λάθος στην εξαναγκασμένη ταλάντωση; Λέμε ότι ο διεγέρτης ασκεί δύναμη αντίθετη στην δύναμη απόσβεσης με αποτέλεσμα η ταλάντωση να είναι αμείωτη. Αυτό ισχύει μόνο στον συντονισμό. Σε κάθε άλλη περίπτωση η εξωτερική δύναμη παρουσιάζει κάποια άλλη διαφορά φάσης με την δύναμη απόσβεσης με αποτέλεσμα κάθε στιγμή η ισχύς της μιας και της άλλης να μην είναι αντίθετες. Και ποιο είναι το σωστό;

Στη διάρκεια μιας περιόδου, όση ενέργεια μετατρέπεται σε θερμότητα εξαιτίας της απόσβεσης (ή της αντίστασης R) προσφέρεται στο σύστημα από τον διεγέρτη, με αποτέλεσμα το πλάτος να παραμένει σταθερό. Δηλαδή στο παραπάνω κύκλωμα, για τη μέση ισχύ έχουμε:

[πίσω]