主に微分幾何学や複素幾何学について研究を行なっております。
大阪大学豊中キャンパス理学部 B522
email: kasuya @ math.sci.osaka-u.ac.jp
研究室所属を希望される場合は所属希望届けを提出する前にご相談ください。
インターネットによる遠隔会議にての面談も可能です。
セミナーの見学も可能です。
2024年度
学部４年
坂本 翼
前川 大志
修士
下地 泰斗:Lie代数の研究
博士
大野 高志: 複素幾何学, Higgs束についての研究
Purho Valto : 複素幾何学、nilmanifold
Lucas H. S. Gomes:複素幾何学、LCK Geometry
2022年度修士論文
「Deformations of holomorphic-Higgs pairs」
2021年度修士論文
「SU(3)の“ 等質空間としての表示 ”と層係数コホモロジー」
糟谷研究室を志望される方へ
主に以下のトピックに関連する内容について研究指導を行います。
・リー群、等質空間の幾何学
・複素多様体上の変形理論とホッジ理論
・多様体の幾何構造
これらに関連し以下について学びたい人も歓迎します
・離散群
・有理ホモトピー理論
・代数群
・リー代数の構造
指導方針
研究室所属時点での前提知識は数学の基盤となるもの(線形代数、集合論など)以外は要求しません。所属以前で幾何学の学習経験のない学生も受け入れ可能です。見せかけの知識量よりも、数学の研究に必要な基礎力の向上に重きを置いて着実なステップアップしていけるよう指導を行います。多様な研究分野で成果を挙げてきた経験を活かし、数学全般に通底する技能を集中的にトレーニングしていきます。
糟谷自身の研究紹介
(1) 可解多様体の幾何学
可解リー群の等質空間を可解多様体と呼びます。これは定義より冪零リー群の等質空間：冪零多様体の本質的な一般化となっております。冪零多様体に関しては多くの研究が存在しますが、可解多様体でその拡張を考えるとだいぶ複雑になりますのでそれを調べています。
主な業績
H. Kasuya, Minimal models, formality and hard Lefschetz properties of solvmanifolds with local systems, J. Differential Geom., 93, (2013), 269--298.
H. Kasuya, de Rham and Dolbeault Cohomology of solvmanifolds with local systems.
H. Kasuya, Techniques of computations of Dolbeault cohomology of solvmanifolds. Math. Z. 273 (2013), no. 1-2, 437--447.
"冪例多様体のde Rhamコホモロジーは不変微分形式のなす部分複体のコホモロジーと同型となる"というNomizuの定理はその後Hattori, Mostow等によりある性質を満たす可解多様体に置き換えても同じことが成り立つことが示されました。しかし、一般の可解多様体では成り立たないことがわかります。私は局所系コホモロジーや有理ホモトピー論的観点から完全に一般の可解多様体に関してNomizuの定理の拡張に成功しました。これにより、原理的には全ての可解多様体のコホモロジーの計算が可能になりました。
同様の考察を不変複素構造を持つ可解多様体のDolbeaultコホモロジーの計算についても行い、種々の複素可解多様体のDolbeaultコホモロジーの計算を可能にしました。
参考動画
https://www.youtube.com/watch?v=iG-_fg4NAE8&list=PLOtduZ_kVlcj4i-kw1us0kxngBua-WiA2&index=1&t=1462s
(2) 非可換Hodge理論
通常のHodge理論はコホモロジー上の幾何構造の反映を見るものです。非可換Hodge理論とはここでは、可換ではない基本群に関わるHodge理論のことです。有理ホモトピー論的観点及び、平坦束とHiggs束との対応的観点から研究を行っております。
主な業績
H. Kasuya, Techniques of Constructions of Variations of Mixed Hodge Structures. Geom. Funct. Anal. 28 (2018), no. 2, 393–442.
H. Kasuya, Morgan's mixed Hodge structures and nonabelian Hodge structures Communications in Algebra
Biswas, H. Kasuya, Higgs bundles and flat connections over compact Sasakian manifolds Communications in Mathematical Physics
(3)複素等質空間の研究と拡張
等質空間の複素幾何学的観点からの拡張を目指しています。変形理論や葉層構造などを用いて、既存の商空間にとらわれない空間の構成を考えています。
主な業績
H. Ishida, H. Kasuya,
Non-invariant deformations of left-invariant complex structures on compact Lie groups Forum Mathematicum
H. Ishida, H. Kasuya
Double sided torus actions and complex geometry on SU(3) preprint (arxiv)
(4)非ケーラー幾何学
ケーラー構造を持たない複素多様体やシンプレクティック多様体あるいはCR多様体や佐々木多様体のような奇数次元の多様体の幾何学の研究をしています。Bott-Chernコホモロジーのような非ケーラーでのみ新しい不変量となるような量や、ケーラー以外の特殊計量および変形理論などを通して研究しています。
主な業績
H. Kasuya, Vaisman metrics on solvmanifolds and Oeljeklaus-Toma manifolds. Bull. London Math. Soc. (2013) 45 (1): 15--26.
D. Angella, H. Kasuya, Bott-Chern cohomology of solvmanifolds. Ann. Global Anal. Geom. 52 (2017), no. 4, 363--411.
D. Angella, H. Kasuya, Cohomologies of deformations of solvmanifolds and closedness of some properties.North-Western European Journal of Mathematics 3 (2017), 75--105
A. Fino, H. Kasuya, Tamed symplectic structures on compact solvmanifolds of completely solvable type. Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, Cl. Sci. (5) 16, No. 3, 971-979 (2016).
学部４年--修士年向けのテキスト例
・Lie代数のコホモロジーと等質空間の幾何学
糟谷研究室セミナー用のオリジナルテキスト。
あらゆるレベルから学び始められて、研究できるようになるために最適化したテキスト。
・西川 青季、『幾何学的変分問題 』
・小林 俊行 、 大島 利雄、 『リー群と表現論』
・Jean-Pierre Serre、 『Lie Algebras and Lie Groups: 1964 Lectures given at Harvard University』
・小林 昭七、『複素幾何』
・Dimitrij Akhiezer、『Lie Group Actions in Complex Analysis 』
・Madabusi S. Raghunathan、『Discrete Subgroups of Lie Groups 』